Kompakte Träger, Fortsetzung |
08.08.2016, 09:22 | StrunzMagi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Kompakte Träger, Fortsetzung Für setzten wir: für und für Nun steht im Skriptum: Aus der endlichen Abstantdeigenschaft des komapkten Trägers vom Rand erhalten wir auch die folgende Aussage: Wie folgt das nun konkret? Mit der endlichkeit der Abstandseigenschaft meint man vlt: Ist K Kompakt und mit U offen dann gilt . D.h. hier . Edit.: |
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08.08.2016, 10:30 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, k-fache Differenzierbarkeit ist eine lokale Eigenschaft, das heißt, es reicht, wenn du zu jedem Punkt eine offene Umgebung findest, wo die Funktion k-fach differenzierbar ist. Jetzt nimm dir einen beliebigen Punkt her und unterscheide die Fälle, ob er in U liegt oder nicht. In beiden Fällen findest du leicht eine offene Umgebung, wo die Funktion k-fach differenzierbar ist. |
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08.08.2016, 23:21 | StrunzMagi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, Danke für deine Antwort. ZZ.: Fall 1:Sei , da offen ist Für alle Folgen gilt: Fall 2:Sei . mit kompakt relativ und nach Satz in Topologie auch kompakt ( als Teilmenge von ). Nach Satz im Anfangspost ist deshalb: Unterfall 2a: Ist Ich dachte nun and die Wahl von als offene Umgebung . Für ist dann Unterfall 2b: Ist so ist (Abschluss einer Menge). Da offen ist gibt es eine Epsilonkugel sodass für alle x in der Epsilonkugel. |
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09.08.2016, 10:40 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, kann man wohl so machen, ist aber ein bisschen umständlich. Zunächst der Fall . Der ist doch sofort abgehakt, denn selbst ist doch eine offene Umgebung, auf der nach Voraussetzung k-mal stetig differenzierbar ist. Was du da zusätzlich noch hinschreibst, ist nicht notwendig. Ist , so ist doch offenbar eine offene Umgebung von (als Komplement einer abgeschlossenen Menge), auf der konstant die Nullfunktion, also insbesondere beliebig oft differenzierbar ist. |
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10.08.2016, 06:53 | StrunzMagi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Stimmt, so wäre es geschickter. Ich habe noch eine Frage zu dem Thema: Es steht noch als Bemerkung: Für gilt , wenn . Ich denke die Bezeichnung für mit ist gemeint. Ist f eine -mal stetig differenzierbare Funktion, so setzt man wobei und das -mal. Folgt das durch Induktion? Wie sieht man denn den einfachen Fall ? |
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10.08.2016, 09:29 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zeige dafür, dass die Ableitung außerhalb des Trägers auch schon verschwinden muss. |
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12.08.2016, 07:41 | StrunzMagi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, , d.h. . Es folgt so dass für alle . ZZ.: für h beliebig klein. |
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19.08.2016, 15:26 | StrunzMagi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, Ich würde mich über eine kurze Rückmeldung bei dem Thema sehr freuen! |
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19.08.2016, 17:59 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi, ja das ist richtig. Hatte das damals auch gelesen nur vergessen zu antworten, sorry. Vielleicht sollte man außerdem noch erwähnen, dass die partiellen Ableitung immer gleich in einer Umgebung von a verschwinden, damit stetig in a sind, was dann Differenzierbarkeit zeigt. Alternativ könnte man auch hier sagen, dass Differenzierbarkeit lokal ist und f außerhalb des Trägers lokal verschwindet. |
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21.08.2016, 12:00 | StrunzMagi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für die Rückmeldung! LG, MaGi |
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