Kompakte Träger, Fortsetzung

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StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »
Kompakte Träger, Fortsetzung
Sei offen.
Für setzten wir:
für und für

Nun steht im Skriptum:
Aus der endlichen Abstantdeigenschaft des komapkten Trägers vom Rand erhalten wir auch die folgende Aussage:



Wie folgt das nun konkret?
Mit der endlichkeit der Abstandseigenschaft meint man vlt:
Ist K Kompakt und mit U offen dann gilt .
D.h. hier .

Edit.:
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

k-fache Differenzierbarkeit ist eine lokale Eigenschaft, das heißt, es reicht, wenn du zu jedem Punkt eine offene Umgebung findest, wo die Funktion k-fach differenzierbar ist. Jetzt nimm dir einen beliebigen Punkt her und unterscheide die Fälle, ob er in U liegt oder nicht. In beiden Fällen findest du leicht eine offene Umgebung, wo die Funktion k-fach differenzierbar ist.
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Danke für deine Antwort.

ZZ.:

Fall 1:Sei , da offen ist
Für alle Folgen gilt:


Fall 2:Sei .
mit kompakt relativ und nach Satz in Topologie auch kompakt ( als Teilmenge von ).
Nach Satz im Anfangspost ist deshalb:

Unterfall 2a: Ist
Ich dachte nun and die Wahl von als offene Umgebung .
Für ist dann

Unterfall 2b: Ist so ist (Abschluss einer Menge).
Da offen ist gibt es eine Epsilonkugel sodass für alle x in der Epsilonkugel.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, kann man wohl so machen, ist aber ein bisschen umständlich.

Zunächst der Fall . Der ist doch sofort abgehakt, denn selbst ist doch eine offene Umgebung, auf der nach Voraussetzung k-mal stetig differenzierbar ist. Was du da zusätzlich noch hinschreibst, ist nicht notwendig.

Ist , so ist doch offenbar eine offene Umgebung von (als Komplement einer abgeschlossenen Menge), auf der konstant die Nullfunktion, also insbesondere beliebig oft differenzierbar ist.
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, so wäre es geschickter.
Ich habe noch eine Frage zu dem Thema:
Es steht noch als Bemerkung: Für gilt , wenn .

Ich denke die Bezeichnung für mit ist gemeint.
Ist f eine -mal stetig differenzierbare Funktion, so setzt man

wobei und das -mal.

Folgt das durch Induktion? Wie sieht man denn den einfachen Fall ?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zeige dafür, dass die Ableitung außerhalb des Trägers auch schon verschwinden muss.
 
 
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
, d.h. .
Es folgt so dass für alle .
ZZ.:

für h beliebig klein.
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
Ich würde mich über eine kurze Rückmeldung bei dem Thema sehr freuen!
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, ja das ist richtig. Hatte das damals auch gelesen nur vergessen zu antworten, sorry.

Vielleicht sollte man außerdem noch erwähnen, dass die partiellen Ableitung immer gleich in einer Umgebung von a verschwinden, damit stetig in a sind, was dann Differenzierbarkeit zeigt. Alternativ könnte man auch hier sagen, dass Differenzierbarkeit lokal ist und f außerhalb des Trägers lokal verschwindet.
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Rückmeldung!
LG,
MaGi
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