Glatte Abbildung zwischen glatten Mannigfaltigkeiten

08.08.2016, 16:22	Kegorus	Auf diesen Beitrag antworten »
Glatte Abbildung zwischen glatten Mannigfaltigkeiten Meine Frage: Seien M und N glatte Mannigfaltigkeiten und F:M -> N eine glatte Abbildung. Ist F glatt für alle glatten Strukturen, die man auf M und N wählen kann? Danke =)
09.08.2016, 15:43	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm $\begin{eqnarray} M=N=\mathbb R \end{eqnarray}$ , und die beiden Atlanten $\begin{eqnarray} \mathcal A_1:=\{(\varphi_1:\mathbb R\to\mathbb R, x\mapsto x)\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathcal A_2:=\{(\varphi_2:\mathbb R\to\mathbb R, x\mapsto x^3)\} \end{eqnarray}$ . Die Abbildung $\begin{eqnarray} F: (\mathbb R, \mathcal A_1) \to (\mathbb R, \mathcal A_2), x\mapsto \begin{cases} \sqrt[3]{x} & , x\geq 0 \\ -\sqrt[3]{-x} & , x<0 \end{cases} \end{eqnarray}$ ist dann differenzierbar (sogar glatt). Wenn man aber Definitions- und Wertebereich beide mit dem Atlas $\begin{eqnarray} \mathcal A_1 \end{eqnarray}$ betrachtet, ist Differenzierbarkeit der Abbildung genau das, was man in Analysis I unter Differenzierbarkeit versteht. Und dann ist $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ nicht mehr differenzierbar.
09.08.2016, 17:15	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
@Nick Nicht mein Spezialgebiet, aber fordert man üblicherweise nicht, dass die Atlanten auch eine glatte Umkehrfunktion haben, oder bringe ich gerade etwas durcheinander?
09.08.2016, 17:29	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
@IfindU: Nein, das kann man garnicht fordern, weil man garnicht sagen kann, was glatt heißen soll bevor man einen Atlas hat. Was man fordert, ist, dass für je zwei Karten des Atlas $\begin{eqnarray} \phi_i,\phi_j \end{eqnarray}$ der Kartenwechsel $\begin{eqnarray} \phi_i\circ{\phi_j}^{-1} \end{eqnarray}$ glatt ist. Das ist hier trivialerweise erfüllt.
09.08.2016, 17:52	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah danke! Ich bin einfach an zu viel Struktur gewöhnt

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