Umformung Summe binomial

09.08.2016, 14:31	mopest	Auf diesen Beitrag antworten »
Umformung Summe binomial Meine Frage: Hallo ihr Lieben, ich hab zwei Frage zu folgender Umformung. 1. Was passiert mit dem Bruch vor dem Binominalquotienten nach shiften der Summe? 2. Warum kann man die Summe einfach als den Zähler 1-(1-...) schreiben? $\begin{eqnarray} (1-\tau) \sum \limits_{\hat{b}_k=0 }^{n} \dfrac{n+1}{\hat{b}_k+1}{n\choose \hat{b}_k}(\dfrac{\eta(k\|k)}{\sum \limits_{l=1}^{K})})^{\hat{b}_k}(1-\dfrac{\eta(k\|k)}{\sum \limits_{l=1}^{K})})^{n-\hat{b}_k}\\=<br /> \dfrac{(1-\tau)}{\eta(k\|k)/\sum \limits_{l=1}^{K}\eta(l\|k)}\sum \limits_{b_k=1}^{n+1}{n+1\choose b_k}(\dfrac{\eta(k\|k)}{\sum \limits_{l=1}^{K}})^{b_k}(\dfrac{1-\eta(k\|k)}{\sum \limits_{l=1}^{K})})^{n+1-b_k}\\<br /> =(1-\tau)\dfrac{1-[1-\eta(k\|k)/\sum \limits_{l=1}^{K}\eta(l\|k)]^{n+1}}{\eta(k\|k)/\sum \limits_{l=1}^{K}\eta(l\|k)} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Mir ist klar, wie die Summer geshiftet wird. Daher auch der Quotient vor der Summe (^b_k-1 das -1 wird rausgezogen. Der binominalquoeffizient verändert sich durch das shiften, nur wo ist jetzt der bruch hin?
09.08.2016, 16:17	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine desöfteren im Nenner auftauchenden "Summen" (?!) $\begin{align} \sum\limits_{l=1}^{K}) \end{align}$ bzw. sogar ganz ohne Summand $\begin{align} \sum\limits_{l=1}^{K} \end{align}$ dürften wohl die meisten unverständlich finden. Soll das jeweils $\begin{align} \sum\limits_{l=1}^{K} \eta(l\|k) \end{align}$ bedeuten? Ich fasse es mal so auf. Jedenfalls überdeckt diese gräßliche Symbol-Kakophonie den eigentlichen mathematischen Inhalt der Umformung: Mit den Abkürzungen $\begin{align} p:=\frac{\eta(k\|k)}{\sum\limits_{l=1}^{K} \eta(l\|k)} \end{align}$ sowie der Indexumbenennung $\begin{align} j=\hat{b}_k \end{align}$ geschrieben geht es jedenfalls um den Term $\begin{align} (1-\tau) \sum_{j=0}^n \frac{n+1}{j+1} \binom{n}{j} p^j (1-p)^{n-j} \end{align}$ . Mit Identität $\begin{align} \frac{n+1}{j+1} \binom{n}{j} = \frac{(n+1)\cdot n!}{(j+1)\cdot j!\cdot (n-j)!} = \frac{(n+1)!}{(j+1)!\cdot (n-j)!} = \binom{n+1}{j+1} \end{align}$ kann dieser Term umgeformt werden zu $\begin{align} (1-\tau) \sum_{j=0}^n \binom{n+1}{j+1} p^j (1-p)^{n-j} = (1-\tau) \sum_{i=1}^{n+1} \binom{n+1}{i} p^{i-1} (1-p)^{n-(i-1)} = (1-\tau)\frac{1}{p} \sum_{i=1}^{n+1} \binom{n+1}{i} p^i (1-p)^{n+1-i} \end{align}$ letzteres mit Indexverschiebung $\begin{align} i=j+1 \end{align}$ . Rechts steht fast die binomische Summe für $\begin{align} (p+(1-p))^{n+1} \end{align}$ , was fehlt ist der Summand für $\begin{align} i=0 \end{align}$ . Daher geht die Umformung weiter mit $\begin{align} (1-\tau)\frac{1}{p} \left[ 1-\binom{n+1}{0}p^0(1-p)^{n+1-0} \right] = (1-\tau)\frac{1}{p} \left[ 1-(1-p)^{n+1} \right] \end{align}$ . Und wenn du hier nun wieder $\begin{align} p=\frac{\eta(k\|k)}{\sum\limits_{l=1}^{K} \eta(l\|k)} \end{align}$ einsetzt, sind wir bei $\begin{align} (1-\tau)\frac{\sum\limits_{l=1}^{K} \eta(l\|k)}{\eta(k\|k)} \left[ 1-\left(1-\frac{\eta(k\|k)}{\sum\limits_{l=1}^{K} \eta(l\|k)}\right)^{n+1} \right] \end{align}$ .

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