Zeigen, dass eine Folge unbeschränkt ist

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Schrubbi Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen, dass eine Folge unbeschränkt ist
Meine Frage:
Ich habe auf einem Übungsblatt folgende Aufgabe:

Zeigen Sie, dass an = nicht konvergent ist, in dem Sie zeigen, dass (an) unbeschränkt ist.

Mir fehlt die Idee, um dies auch korrekt zu beweisen.

Meine Ideen:
Ich weiß, dass der Zähler gegen strebt, im Nenner strebt auch und somit auch . Da der Zähler immer größer ist, als der Nenner, ist auch

Ein Möglicher Ansatz, ist eine Teilfolge zu finden, die ebenso nicht beschränkt ist um zu folgern, dass auch an unbeschränkt ist.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Schlicht kürzen:

Und dem Ausdruck sollte man eigentlich die bestimmte Divergenz ansehen.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Klären wir zunächst einmal was da steht: ich vermute du meinst , ja?

Und dann sieh dir doch einmal die Definition an: die Folge ist unbeschränkt, wenn für alle ein existiert, sodass . Mit Worten ausgedrückt: jede reelle Zahl wird irgendwann (zumindest einmal) von der Folge übertroffen. Fang einmal mit ein paar Beispielen an, damit kann man dann auf einen allgemeinen Ansatz schließen.

Deine Argumentation, dass der Zähler größer als der Nenner und damit der Grenzwert schon unendlich sein muss, ist übrigens falsch. Das solltst du schnellstmöglich vergessen. Zum Beispiel ist auch immer größer als , aber es ist .
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Muss man die 1 eigentlich berücksichtigen oder kann man die gleich "verwerfen" und

schreiben?

Ich meine, wenn es nur um Divergenz geht?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Einfach ignorieren nicht, geeignete Abschätzungen sind aber natürlich erlaubt.
Muschelknauz Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schonmal für die Antworten.

Ich habe mich jetzt angemeldet und bin der Thread Ersteller.
Willkommen im Matheboard!
Du hattest Dich bereits als Schrubbi angemeldet, dieser Account wird demnächst gelöscht.
Viele Grüße
Steffen

Ja, es sollte heißten .

Meine Argumentation war nicht sonderlich exakt, das stimmt.
Nach etwas Umformen habe ich den Term so umgeformt, dass dort nun steht .

Wenn man nun die einzelnen Grenzwerte betrachtet, ist doch nun \infty.
Im Nenner sollte doch gegen 1 streben, da gegen 0 läuft. So sollte doch nun auch generell sein und ist damit unbeschränkt und somit auch divergent. Reicht das als Begründung?



Ich habe in den Aufschrieben von mir etwas gefunden, was ich allerdings nicht mehr nachvollziehen kann. Das war eben der Grund für die Vermutung, eine Teilfolge zu betrachten.
, ist unbeschränkt, also muss auch unbeschränkt sein.

Ich verstehe schon, dass hier abgeschätzt wurde. Aber ob das einfach so legitim ist weiß ich nicht mehr, da ich die Folge ja verändert habe und sie keine Teilfolge ist.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Muschelknauz
, ist unbeschränkt, also muss auch unbeschränkt sein.

Ja, geht auch: Bei dem > ist anzumerken, dass das mittelbar aus durch eine Nennerabschätzung folgt.


Auch denkbar wäre die Abschätzung:
Muschelknauz Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke... Aber ich kann das nicht mehr nachvollziehen. Bei Beweisen von Ungleichungen mit vollständiger Induktion ist mir das Abschätzen klar.

Hier habe ich allerdings keinen Anhaltspunkt mehr und frage mich, ob das hier ein legaler Trick ist... So könnte ich mir doch auch eine beschränkte Folge basteln unter Umständen.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Muschelknauz
So könnte ich mir doch auch eine beschränkte Folge basteln unter Umständen.


Könntest du, aber warum würdest du das tun wollen? Natürlich ist auch für alle , diese Aussage bringt dir aber überhaupt nichts, weil du damit nichts über die (Un-)Beschränktheit von folgern kannst.

Sieh dir die Definition der Unbeschränktheit an, ich vermute dass du da noch einmal ansetzen und nacharbeiten musst. Weise einmal nur mit Hilfe der Definition nach, dass (um den Ausdruck aus deiner Musterlösung zu nehmen) unbeschränkt ist.
Muschelknauz Auf diesen Beitrag antworten »

Laut Definition gibt es zu jedem beliebigen Index n ein k für das gilt, < k.

Oder auch: , das NICHT e ist. Also x liegt nicht in einer Umbegrung um an, bzw es gibt immer ein x > |an+e|.


Wir haben das ganze nur soweit definiert, dass eine konvergente Folge beschränkt ist, mit .

Die Unbeschränktheit einer Folge wurde nur als Umkehrschluss gefolgert - Ist eine Folge ist unbeschränkt, so ist die divergent.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ihr werdet ja aber eine Definition haben, wann heißt eine Folge unbeschränkt? Das was du da aufgeschrieben hast, hat damit jedenfalls nichts zu tun.

Eine mögliche Definition habe ich dir auch schon in meinem ersten Post aufgeschrieben.
Muschelknauz Auf diesen Beitrag antworten »

Leider nicht... Ich bin Mathematik Student für Grundschullehramt und wir haben uns da wohl nur aufs Nötigste beschränkt... Wortwitz.

Ok, Also mit dem Abschätzen. Ist das ein legitimer Weg und wenn ja, warum ist das Gültig? Das ist gerade mein Verständnisproblem, denn ist doch keine Teilfolge von .

Wenn das mit dem Abschätzen gilt, ok... aber muss dann zwangsläufig >_abgeschätzt, oder ist es auch möglich, dass die Abschätzung kleiner ist als? Gilt das durch die Rechenregeln für konvergente Folgen, also in dem Fall dann: falls? Daraus könnte man folgern, dass meine "kleinere" Abschätzung gegen läuft, und somit die "größere" Folge auch gegen laufen MUSS?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Muschelknauz
Leider nicht...

Wie willst du denn dann Unbeschränktheit nachweisen, wenn du gar nicht weißt, was das bedeutet???

Wenn du derart ausweichend nichts dazu sagst, dann greifen wir auf Definition

Zitat:
Original von Iorek (leicht ergänzt)
Eine positive Folge ist unbeschränkt, wenn für alle ein existiert, sodass .

zurück (Ich hab noch das "positiv" eingefügt, weil es für beliebige reelle Folgen doch etwas anders aussieht).


Der Sinn solcher Abschätzungen ist nun der folgende: Wenn wir abschätzen, und für die Unbeschränktheit gemäß dieser Definition zeigen, d.h. für jedes die Existenz eines mit , so gilt natürlich für genau dieses via Ungleichungskette auch , womit auch die Unbeschränktheit von nachgewiesen ist.

Eine Abschätzung nach oben, also , und dann der Nachweis der Unbeschränktheit von , bringt Null und Nichts an Erkenntnisgewinn, siehe Beispiel von Iorek gestern 21:03, das entstehende ist nicht verwertbar. unglücklich
Muschelknauz Auf diesen Beitrag antworten »

Leider konnte ich in unserem Skript nichts weiter zur Beschränktheit bzw. Unbeschränktheit finden als diese Sätze... Das ist alles. Ich würde auch gerne ein Bild posten von der Skript Seite, aber das funktioniert nicht. Daher schreibe ich sie so Zeichen für Zeichen ab.

Satz 2.2:
Jede konvergente Folge ist beschränkt (d.h mit|| ).
Der Umkehrschluss, d. h. die Kontraposition des Satzes ergibt

Folgerung aus 2.2:
Ist eine Folge unbeschränkt, so ist sie divergent.

Mehr steht dazu nicht, aber dank euch weiß ich ja nun die Definition, eben dass mit ).

Okay, Wenn ich jetzt mit der Umgebung argumentiere, gibt es keine (a), für die gilt, dass es nur endlich viele Elemente außerhalb dieser Umgebung sind, sondern unendlich viele. Das mit der Abschätzung habe ich mittlerweile verstanden und leuchtet mir ein, dass man also eine kleinere Abschätzung braucht.

Wie ich mathematisch beweisen soll, dass für alle x ein n existiert, sodass || > x gilt (laut meiner Defintion vom Skript müsse es dann doch auch |x| heißen oder irre ich mich?) Und wenn sie eben unbeschränkt ist, finde ich kein x, das größer ist als jedes , ein Ansatz um das hier auch wirklich zu beweisen fehlt mir. Die Vorlesung ist auch leider schon zwei Jahre her, brauche den Stoff jetzt aber wieder für eine Prüfung
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Muschelknauz
Mehr steht dazu nicht, aber dank euch weiß ich ja nun die Definition, eben dass mit ).


NEIN! Das wurde in keinem der Posts hier so gesagt! Bitte verunstalte nicht eine korrekte Definition durch den willkürlichen Einsatz von irgendwelchen Quantoren! (Danke an HAL, ich hab die Definition basierend auf der Ausgangsfolge formuliert, allgemein müsste die Definition natürlich anders lauten)

Zitat:
Original von Muschelknauz
Okay, Wenn ich jetzt mit der Umgebung argumentiere, gibt es keine (a), für die gilt, dass es nur endlich viele Elemente außerhalb dieser Umgebung sind, sondern unendlich viele. Das mit der Abschätzung habe ich mittlerweile verstanden und leuchtet mir ein, dass man also eine kleinere Abschätzung braucht.


Welche Umgebung meinst du? Was soll das sein? Ich hab keine Ahnung, was du hier versuchst zu sagen.

Damit wir hier ein klein bischen vorwärts kommen:

Behauptung: die Folge ist unbeschränkt.

Beweisidee: alle Folgenglieder sind positiv. Wenn die Folge unbeschränkt ist, dann muss sie irgendwann jede (positive) Zahl mindestens einmal übertreffen. Alle negativen Zahlen werden eh übertroffen (da ja ist).

Wenn man die weitere Argumentation nicht von vornherein sieht, macht man halt ein paar Beispiele.

Finde ein mit . Offensichtlich tut es hier (oder auch oder oder...hauptsache wir finden ein solches , dass es weitere gibt, ist irrelevant).

Finde ein mit . Wir wissen wie aussieht, also haben wir die Ungleichung zu lösen. Das führt uns darauf, dass jedes eine passende Wahl ist (ob wir jetzt oder oder wählen, spielt auch hier keine Rolle).

Finde ein mit . Wir wissen wie aussieht, also haben wir die Ungleichung zu lösen. Das führt uns darauf, dass jedes eine passende Wahl ist (ob wir jetzt oder oder wählen, spielt auch hier keine Rolle).

Langsam sollte man ein Schema erkennen, was man abhängig von der Vorgabe für wählen sollte: eine natürliche Zahl, die größer als ist. Das verpacken wir jetzt noch in einen formalen Beweis:

Sei . Zu diesem wähle nun ein mit . Ein solches existiert, da die Menge der natürlichen Zahlen nach oben unbeschränkt ist. Dann gilt nun mit der Monotonie der Wurzelfunktion:
(streng genommen ist , da wir aber voraussetzen, dass positiv ist, können die Betragsstriche hier entfallen).
Damit ist die Folge unbeschränkt.

Wenn man will, kann man das auch noch genauer spezifizieren: wähle , wobei die Obere Gaußklammer bezeichnet. Diese Wahl ist nicht eindeutig (wir hatten in den Beispielen ja auch immer mehre Zahlen zur Auswahl) und abhängig von der Folge auch nicht immer so einfach anzugeben.

Damit solltest du jetzt eigentlich keine großen Probleme mehr haben, die Unbeschränktheit auch für die Folge nachzuweisen. Anschließend kannst du dich ja auch einer korrekten Argumentation versuchen, weshalb damit deine Ausgangsfolge unbeschränkt ist (hier kommt die getätigte Abschätzung aus der Musterlösung dann ins Spiel).
Muschelknauz Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich versuche es mal.

Ich gehe jetzt von der Abschätzung aus, dass . Die Abschätzung bezeichne ich dann als
Alle Folgeglieder sind positiv, da > 0 und somit auch ist.
Sei und beliebig. Zeige, , für das gilt: .

Diese Ungleichung löse ich nach n auf und nach etwas umformen komme ich dann zu . Dieses n kann man nun genauer beschreiben als: . So finde ich zu jedem beliebigen ein n, für das gilt . Also ist die Folge unbeschränkt. Also wäre

Es gilt: , dass auch .

Da ist, muss auch .


Kann man das so schreiben?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Muschelknauz
Ok ich versuche es mal.

Ich gehe jetzt von der Abschätzung aus, dass . Die Abschätzung bezeichne ich dann als

Wir hatten da mal stehen.

Zitat:
Original von Muschelknauz
Alle Folgeglieder sind positiv, da > 0 und somit auch ist.
Sei und beliebig. Zeige, , für das gilt: .

Diese Ungleichung löse ich nach n auf und nach etwas umformen komme ich dann zu . Dieses n kann man nun genauer beschreiben als: . So finde ich zu jedem beliebigen ein n, für das gilt . Also ist die Folge unbeschränkt.


Bis hier hin ist alles ok (dass du das wirklich angibst, ist wie gesagt nicht nötig und in der Regel auch nicht gefordert). Aber dein Schluss:

Zitat:
Original von Muschelknauz
Also wäre


kann so nicht gemacht werden! Bloß weil eine Folge unbeschränkt ist, muss sie nicht bestimmt divergent sein. Damit ist auch deine folgende Argumentation falsch.

Du musst zeigen: für alle existiert ein mit .

Du weißt: für alle . Außerdem weißt du, dass zu ein existiert mit . Du musst jetzt nur noch korrekt zusammensetzen.
Muschelknauz Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast recht, das war ein Tippfehler von mir und sollte natürlich heißen:

Genau das, was du als falsch schreibst, steht eben als Definition in meinem Skript, denn wenn eine Folge unbeschränkt ist, ist sie divergent!
Wenn ich das so als Definition habe, gehe ich natürlich davon aus. Ich konnte zeigen, dass unbeschränkt ist, weil ich zu jedem beliebigen x ein n finde, für dass gilt . Daraus kann ich auch folgern und so muss auch unbeschränkt sein.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek

Zitat:
Original von Muschelknauz
Also wäre


kann so nicht gemacht werden! Bloß weil eine Folge unbeschränkt ist, muss sie nicht bestimmt divergent sein. [...]


Gib doch bitte dazu ein Beispiel
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Muschelknauz
Genau das, was du als falsch schreibst, steht eben als Definition in meinem Skript, denn wenn eine Folge unbeschränkt ist, ist sie divergent!

Divergent heißt aber nicht direkt . So ist z.B. die Folge auch unbeschränkt und divergent, aber es gilt nicht . Das ist ein großer Unterschied zwischen "divergent" und "bestimmt divergent".

Zitat:
Original von Muschelknauz
Ich konnte zeigen, dass unbeschränkt ist, weil ich zu jedem beliebigen x ein n finde, für dass gilt . Daraus kann ich auch folgern und so muss auch unbeschränkt sein.


Das kann man jetzt so stehen lassen.
Muschelknauz Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe was du meinst. Den Unterschied zwischen "divergent" und "bestimmt divergent" haben wir im Skript anscheinend nicht aufgeführt bekommen.

Aber mein ist dann also "bestimmt divergent" gegen Unendlich und daher auch . Ich habe zu danken.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
Zitat:
Original von Iorek
Bloß weil eine Folge unbeschränkt ist, muss sie nicht bestimmt divergent sein. [...]

Gib doch bitte dazu ein Beispiel

.

Oder wenn die Folge nichtnegativ bleiben soll: .

Abschließend ein richtig anspruchsvolles Beispiel: . Big Laugh
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

die folge nimmt beliebig(?) große werte an, zwischendurch aber auch kleine positive werte an.
warum das Smiley ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich vermute mal ganz stark, weil es nicht trivial ist, dass die Folge nicht bestimmt divergiert. Wenigstens sehe ich es der Folge nicht an, Ich hoffe der Smiley deutet an, dass HAL ein schönes Argument kennt.
Muschelknauz Auf diesen Beitrag antworten »

Eine letzte Frage zu der Sache mit der Beschränktheit habe ich noch. Mal ganz simpel, sei meine Folge mit .

Ich weiß, dass es diese Folge beschränkt ist und auch gegen 0 konvergiert und auch monoton fallend ist. Wie beweise ich diese Beschränktheit nun korrekt?

Ist es hier ausrechend zu sagen, dass das kleinste n=1 den Wert 1 annimmt und da n positiv ist, niemals negativ sein kann. Also muss n beschränkt sein, weil .
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst eine obere Schranke und eine untere Schranke.

Diese brauchen aber nicht unbedingt das Min und das Max der Schranken sein.
Muschelknauz Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn ich zeigen soll, dass eine Folge konvergent ist, indem ich die Monotonie und Beschränktheit der folge aufweisen soll. Beispielsweise

Monotonie habe ich schon gezeigt, gehen wir davon aus. Genügt es, es Grenzwert anzugeben, dass und somit die Folge beschränkt ist?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ganz trivial: erst Schranken direkt angeben und nicht deren Existenz irgendwie folgern.
z.B. obere Schranke = 3 und das nachweisen.

edit: für die folge 1/n
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Offtopic:

Zitat:
Original von IfindU
Ich vermute mal ganz stark, weil es nicht trivial ist, dass die Folge nicht bestimmt divergiert. Wenigstens sehe ich es der Folge nicht an, Ich hoffe der Smiley deutet an, dass HAL ein schönes Argument kennt.


Nach dem Dirichletschen Approximationssatz gibt es unendlich viele Paare natürlicher Zahlen mit . Für jedes dieser Paare gilt .

Man muss sich nur noch davon überzeugen, dass zu diesen unendlich vielen Paare nicht nur endlich viele Werte gehören können.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Nach dem Dirichletschen Approximationssatz

Genau das hatte ich auch im Hinterkopf - passende Paare sind z.B. die aus der Kettenbruchentwicklung von gewonnenen Näherungsbrüche , für die gilt sogar stärker , aber dieser "Mehrwert" spielt hier keine Rolle. Augenzwinkern
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