Aufgabe zu komplexen Zahlen

10.08.2016, 15:17

Mathe:(

Aufgabe zu komplexen Zahlen

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{\sqrt{2}}+j\frac{1}{\sqrt{2}})^{4} \end{eqnarray*}$

dies soll berechnet werden.

ich weiß, dass j^2 = -1 ist und -1 soll auch das ergebnis der aufgabe sein verwirrt

kann mir jemand einen anschub geben, womit man am besten anfängt?

potenzgesetz?

kann man dies so schreiben?

$\begin{eqnarray*} ((\frac{1}{\sqrt{2}})^{2}+j^{2}(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2})^{2} \end{eqnarray*}$

10.08.2016, 15:25

Steffen Bühler

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RE: Aufgabe zu komplexen Zahlen
Falls Du "siehst", wie diese komplexe Zahl als Zeiger in der Zahlenebene aussieht, ist es recht einfach: Betrag hoch vier, Winkel mal vier.

Falls nicht, ist es wohl einfacher, zweimal anhand der ersten binomischen Formel zu quadrieren. Die gilt nämlich auch für komplexe Zahlen: (a+bi)²=...

Viele Grüße
Steffen

11.08.2016, 07:10

Mathe:(

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manchmal muss man eine nacht drüber schlafen, vermutlich war der kopf gestern einfach zu voll

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{\sqrt{2}}+j\frac{1}{\sqrt{2}})*(\frac{1}{\sqrt{2}}+j\frac{1}{\sqrt{2}})*(\frac{1}{\sqrt{2}}+j\frac{1}{\sqrt{2}})*(\frac{1}{\sqrt{2}}+j\frac{1}{\sqrt{2}}) \end{eqnarray*}$

ich betrachte erstmal nur 2 klammern davon

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{\sqrt{2}}+j\frac{1}{\sqrt{2}})*(\frac{1}{\sqrt{2}}+j\frac{1}{\sqrt{2}}) \end{eqnarray*}$

eine wurzel mit sich selbst multipliziert, ergibt immer das unter der wurzel.

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2}+j\frac{1}{2}+j\frac{1}{2}+j^{2}\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

zusammen gefasst

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2}+j+j^{2}\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

j^2 ergibt -1 und -1*1/2 = -1/2

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2}+j+(-\frac{1}{2})) \end{eqnarray*}$

dies wieder zusammen fassen

$\begin{eqnarray*} (j) \end{eqnarray*}$

da wir nur 2 der 4 klammern betrachtet haben und die anderen beiden identisch sind steht da nun

$\begin{eqnarray*} (j)*(j) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} j^{2} = -1 \end{eqnarray*}$

11.08.2016, 08:52

Steffen Bühler

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Perfekt! Wobei die erste binomische durchaus geholfen hätte:

$\begin{align*} \left(\frac1{\sqrt2}+j\frac1{\sqrt2}\right)^2=\left(\frac1{\sqrt2}\right)^2+j \cdot 2 \cdot \frac1{\sqrt2} \cdot \frac1{\sqrt2} + \left(j\frac1{\sqrt2} \right)^2=\frac12 +j \cdot \frac22 -\frac12=j \end{align*}$ .

Viele Grüße
Steffen

11.08.2016, 09:12

Mathe:(

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die restlichen aufgaben zu komplexen zahlen waren relativ schnell zu lösen

nur bei einer habe ich noch ein kleines verständnis problem

$\begin{eqnarray*} z=3-j\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

bei dieser soll r und phi berechnet werden

dafür gibt es ja zwei einfache formeln:

phi = arctan y/x

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \end{eqnarray*}$

in diesem fall kommt für $\begin{eqnarray*} r = 2*\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

für phi habe ich 30 raus, soll aber laut lösung -30 sein

ich habe es ehrlich gesagt mit dem taschenrechner gemacht und dort eingegeben:

$\begin{eqnarray*} tan^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{3}) \end{eqnarray*}$

wenn ich -wurzel3 eingeben, dann kommt auch -30 raus, wie es in der lösung steht

das minus vor dem j bezieht sich doch aber nur auf das j und nicht auf die wurzel 3?

also ausgeschrieben, könnte man es auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} z=3-j*(+\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

also wäre es falsch, wenn ich in der formel -wurzel3 schreibe oder nicht?

$\begin{eqnarray*} [latex]tan^{-1}(\frac{-\sqrt{3}}{3}) \end{eqnarray*}$ [/latex]

warum kommt da also laut lösung -30 als ergebnis für phi?

danke schonmal smile

11.08.2016, 09:20

willyengland

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Wenn du das Minus nicht berücksichtigst, würde ja bei $\begin{eqnarray*} z=3+j\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ das Gleiche rauskommen.
Das Minus ist der Faktor (-1), der vor dem Produkt steht. Er gehört zum y.

11.08.2016, 09:20

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Mathe
das minus vor dem j bezieht sich doch aber nur auf das j und nicht auf die wurzel 3?

Auf beides, die sind ja multiplikativ verknüpft. Und da der Imaginärteil einer komplexen Zahl a+jb vereinbarungsgemäß die Zahl b ist, ist z.B. der Imaginärteil von a-jb die Zahl -b. Und, um auf Dein Beispiel zurückzukommen, ist $\begin{align*} \Im(3-j \sqrt 3)=-\sqrt 3 \end{align*}$ .

Deshalb musst Du $\begin{align*} \varphi = \arctan \left( \frac {-\sqrt 3}3 \right) \end{align*}$ rechnen.

11.08.2016, 09:40

Mathe:(

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Zitat:

Original von willyengland
Wenn du das Minus nicht berücksichtigst, würde ja bei $\begin{eqnarray*} z=3+j\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ das Gleiche rauskommen.
Das Minus ist der Faktor (-1), der vor dem Produkt steht. Er gehört zum y.

das ist mir schon bewusst, aber setzten wir mal 3 beispiel zahlen für x y und j ein:

x = 3
y = 5
j = 10

z = x - j y

z = 3 - 10 * 5 = 3 - 50 = - 47

nun sagt ihr, dass - auch für y gilt

z = 3 - 10 * - 5 = 3 - - 50 = 53

verwirrt

11.08.2016, 09:44

willyengland

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Du musst jedes Minus als (-1) sehen.
Im zweiten Fall hättest du ja zwei mal (-1)!
Du darfst das minus also nur einmal "verwenden".

Und da i immer i ist, sozusagen eine Konstante, zieht man die (-1) immer zum y.

11.08.2016, 09:46

Steffen Bühler

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Merk Dir einfach: der Imaginärteil ist der Faktor vor dem j.

11.08.2016, 10:02

Mathe:(

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gehört das minus denn zur 10, oder gehört es erst im nächsten schritt zur subtraktion?

also muss ich es beim multiplizieren schon beachten und darf nicht einfach:

3 - (10*5) = 3 - 50 = - 47

3 (muss hier dann plus stehen und wenn ja, warum kann ich einfach + hinzu fügen, obwohl es nicht in der gleichung steht) + (-10 * 5)

also: 3 + (-10*5) = - 47
und: 3 + (10*-5) = -47

verwirrt

gott, ich stell vermutlich richtig dumme fragen Forum Kloppe

also im prinzip geht es mir darum, ob punkt vor strich hier gilt? da minus ja eine strich rechnung ist und nicht als vorzeichen für die 10 gilt?

$\begin{eqnarray*} z=3-j*(+\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

wenn ich es also wieder hier rauf beziehe gilt und es in der formel heißt:

arctan(y/x) dann kann doch nicht das minus vor dem j verwendet werden?

11.08.2016, 10:25

Mathe:(

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- 10 * 5
und
10 * - 5

ergeben logisch ja das gleiche

aber wenn nach y in der formel gefragt ist, dann kann ich doch nicht einfach das vorzeichen mit dem einer anderen zahl oder der imaginären einheit vertauschen? weil die imaginäre einheit nicht in der formel multipliziert wird und komplett außen vor gelassen ist?

es wird ja nur das imaginärteil / realteil geteilt

das finde ich nun wirklich unlogisch unglücklich

11.08.2016, 10:59

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Mathe
aber wenn nach y in der formel gefragt ist, dann kann ich doch nicht einfach das vorzeichen mit dem einer anderen zahl oder der imaginären einheit vertauschen?

Die imaginäre Einheit hat kein Vorzeichen! Sie ist immer j, oder meinetwegen auch +j. Das wiederum bedeutet, dass der Imaginärteil von -j die reelle Zahl -1 ist.

Das Schema ist immer KomplexeZahl=Realteil+Imaginärteil*j. Das Plus dazwischen ist ein Plus ist ein Plus.

11.08.2016, 11:07

Mathe:(

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okay... gegeben war ja:

$\begin{eqnarray*} z=3-j\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} z=3-\sqrt{3}*j \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} z=3+(-1*\sqrt{3}*j) \end{eqnarray*}$

dann würde es für mich sinn ergeben

weil man dann -1 * wurzel 3 nimmt und das als imaginärteil in die formel einsetzt

so richtig verstanden?

11.08.2016, 11:40

Steffen Bühler

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Ja, so ist es.

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