Rotationsvolumen durch eine parametrisierte Kurve berechnen

12.08.2016, 12:48

Skulli

Rotationsvolumen durch eine parametrisierte Kurve berechnen

Meine Frage:
Hallo zusammen

Die Aufgabe ist folgende:

Es sei die Astroide durch die folgende Parameterdarstellung
$\begin{eqnarray*} x = a\cos(t)^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = a\sin(t)^{3} \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} 0 \leq t \leq 2\pi \end{eqnarray*}$ .
Dabei ist a > 0 eine feste Zahl. Berechne in Abhängigkeit von a das Volumen des Rotationskörpers, der erhalten wird, wenn die Astroide um die x-Achse gedreht wird.

In der Musterlösung wird die implizite Darstellung aufgestellt und dann so das Volumen berechnet:

$\begin{eqnarray*} V = 2\pi \int_{0}^{a} \! y(x)^{2} \, dx \end{eqnarray*}$

Ist ganz logisch, es wird einfach zu jedem x der Kreisflächeninhalt berechnet und dann von 0 bis a intergriert. Doch ist es nicht auch möglich, so das Volumen zu berechnen?

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} <br /> V = 2\pi \int_{0}^{\frac{\pi }{2} } \! y(t)^{2} \, dt<br /> <br /> = 2\pi \int_{0}^{\frac{\pi }{2} } \! (a\cos(t)^{3})^{2} \, dt<br /> \end{eqnarray*}$

Also indem man einfach den Radius y(t) quadriert und mit $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ multipliziert (und t einfach von 0 bis $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$ laufen lässt.

Was ist an meiner Überlegung falsch? Ist überhaupt etwas falsch? Ich krieg nämlich etwas anderes raus...

Bin um jede Hilfe dankbar.

Mit freundlichen Grüssen

12.08.2016, 13:18

mYthos

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Du kannst es auch über die Parameterdarstellung rechnen, allerdings musst du $\begin{eqnarray*} \dd x \end{eqnarray*}$ aus der Ableitung von $\begin{eqnarray*} \frac{\dd x}{\dd t} = \frac d {\dd t} a \cos^3t \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \dd t \end{eqnarray*}$ ersetzen.

mY+

12.08.2016, 13:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von Skulli
$\begin{eqnarray*} V = 2\pi \int_{0}^{\frac{\pi }{2} } \! y(t)^{2} \, dt \end{eqnarray*}$

So stimmt das nicht - bereits die physikalische Einheit ist falsch (Fläche statt Volumen). unglücklich

Möglich ist der Weg über ein Stieltjes-Integral, d.h.

$\begin{align*} V = \pi \int\limits_0^{\pi} (y(t))^2 ~ \left| \dd x(t) \right| = \pi \int\limits_0^{\pi} (y(t))^2 \left| x'(t) \right| ~ \dd t = -\pi \int\limits_0^{\pi} (y(t))^2 x'(t) ~ \dd t \end{align*}$ ,

das negative Vorzeichen kommt wegen $\begin{align*} x'(t)<0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} 0\leq t\leq \pi \end{align*}$ im vorliegenden Fall. Kann man natürlich aus Symmetriegründen auch so berechnen

$\begin{align*} V = -2\pi \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} (y(t))^2 x'(t) ~ \dd t \end{align*}$ . Augenzwinkern

EDIT: Huch, viel zu lange nicht aktualisiert.

12.08.2016, 14:27

Skulli

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RE: Rotationsvolumen durch eine parametrisierte Kurve berechnen
y(t) beschreibt doch genau den Abstand von der x-Achse zur Funktion (genau wie y(x), oder?).

Wenn ich nun diesen Abstand quadriere und mit Pi multipliziere, ergibt sich doch dann die Fläche. Und wenn ich nun alle t durchlaufe (so dass ich von x=a bis x=0 gelange), was in diesem Fall von 0 bis Pi/2 ist, und alles zusammen addiere, kriege ich doch ein Volumen?

Ich weiss, diese Aussage muss falsch sein, doch ich krieg nicht heraus was!

Liebe Grüsse

12.08.2016, 14:42

HAL 9000

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Um das Volumen zu bekommen, addierst du aber nicht Flächen $\begin{align*} F \end{align*}$ , sondern du addierst Zylindervolumina mit infinitesimaler Höhe, das ist $\begin{align*} \dd V = F \cdot \dd x \end{align*}$ . Und da kannst du nicht einfach sagen "ich ersetze jetzt aber die in x-Richtung verlaufende Höhe $\begin{align*} \dd x \end{align*}$ (Längeneinheit!) durch Stückchen $\begin{align*} \dd t \end{align*}$ auf der dimensionslosen t-Achse.", geht nicht! Als nicht gerade begnadeter Didaktiker weiß ich aber auch nicht, wie ich dich sonst noch von der Absurdheit deiner Idee überzeugen kann.

12.08.2016, 14:44

mYthos

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$\begin{eqnarray*} y(x) \end{eqnarray*}$ hängt doch von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ab, aber es ist in der Parameterfunktion $\begin{eqnarray*} y(t) \end{eqnarray*}$ die Abhängigkeit des $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ gegeben!
Wenn mit den Parameterfunktionen gerechnet werden soll, muss deswegen mittels der Parameterfunktion $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} \dd x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \dd t \end{eqnarray*}$ ersetzt werden.

mY+

13.08.2016, 10:50

Skulli

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Vielen Dank HAL 9000 und mYthos für die Erklärungen. Ich habe die Tatsache, dass t eine dimensionslose Achse ist nicht berücksichtigt, weshalb ich auf der Leitung stand. Nun ist mir klar wieso das nicht funktionieren kann. Vielen Dank für eure Hilfe!

Freundliche Grüsse

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