Logarithmusterm vereinfachen (bzw umstellen)

12.08.2016, 13:15

marcik

Logarithmusterm vereinfachen (bzw umstellen)

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich übe zurzeit die Logarithmusgesetze mit Beispielen. Bis jetzt habe ich alle ganz gut gelöst.
Aber bei diesem Term verstehe ich nicht wieso es so umgeformt wurde.

Der Ausgangsterm: $\begin{eqnarray*} log(a+b)+2log(a-b)-\frac{1}{2} log(a^{2}-b^{2}) \end{eqnarray*}$

Und sowas steht in der Lösung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} log(a+b)+\frac{3}{2}log(a-b) \end{eqnarray*}$

Irgendwo bleibe ich ständig hängen :/

Meine Ideen:
Meine "Umformung" wäre dies:

$\begin{eqnarray*} log\frac{(a+b)*(a-b)^{2}}{\sqrt{(a^{2}-b^{2}}} \end{eqnarray*}$

12.08.2016, 13:18

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo marcik,

$\begin{eqnarray*} a^2-b^2 \end{eqnarray*}$ erinnert doch stark an eine bekannte Formel.

12.08.2016, 13:18

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man so machen, ist aber recht umständlich.
Du müsstest nun nämlich die binomische Formel einsetzen, dann kürzen und anschließend den Term wieder auseinander ziehen.

Wesentlich einfacher ist es, den Term $\begin{align*} log(a^2-b^2) \end{align*}$ mittels binomischer Formel zu vereinfachen.

EDIT: Kannst gerne weitermachen, Mathema.

12.08.2016, 13:19

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Das deinige ist zwar richtig, aber nicht wirklich vereinfacht :P.
Im letzten Summanden...haltr nach ner binomischen Formel ausschau smile

12.08.2016, 14:12

marcik

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun habe ich so gerechnet:

$\begin{eqnarray*} log(a+b)+log(a-b)^{2} - \frac{1}{2}log((a+b)(a-b)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> log(a+b)+log((a-b)(a-b)) -\frac{1}{2}log(a+b)+\frac{1}{2}log(a-b) \end{eqnarray*}$

1. $\begin{eqnarray*} 2log(a-b)+\frac{1}{2}log(a-b)= \frac{3}{2}log(a-b) \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} log(a+b)-\frac{1}{2}log(a+b) = \frac{1}{2}log(a-b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}log(a+b)+\frac{3}{2}log(a-b) \end{eqnarray*}$

Seeeehr ausführlich aber ich glaube so ist es richtig :p

Man darf also doch zwei Log addieren wenn der Inhalt "im" Logarithmus der selbe ist?

Danke euch für die schnelle Antwort smile

12.08.2016, 14:17

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Seeeehr ausführlich aber ich glaube so ist es richtig :p

Leider nicht.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{2}log(a-b)\textcolor{red}{+\frac{1}{2}}log(a-b)= \textcolor{red}{\frac{3}{2}}log(a-b) \end{eqnarray*}$

Da solltest du noch mal kontrollieren.

edit: Zur Sicherheit: Der Fehler passiert schon vorher. An dieser Stelle hätte er dir nur auffallen müssen, da du das richtige Ergebnis ja kennst.