Extrema einer Funktion mit 2 Veränderlichen

12.08.2016, 13:27

FaithNoMore

Extrema einer Funktion mit 2 Veränderlichen

Meine Frage:
Hallihallo,
ich versuche momentan folgende Aufgabe zu lösen:
Bestimmen Sie die kritischen Stellen der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y)=x^3+y^3-x^2+2y^2-5x+y+3 \end{eqnarray*}$ und stellen Sie fest, ob es sich um jeweils ein lokales Minimum, Maximum oder keines von beiden handelt.

Meine Ideen:
Bisher weiß ich, dass auf jeden Fall gelten muss
$\begin{eqnarray*} f_x(x,y) = 3x^2-2x-5=0 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f_y(x,y) = 3y^2+4y+1=0 \end{eqnarray*}$ .
Aber ich bin mir nun aufgrund unseres recht kryptischen Skripts leider nicht sicher, wie ich nun weiter verfahren soll. Kann es sein, dass ich nun die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f_x \end{eqnarray*}$ bestimmen muss? unglücklich

Wäre sehr dankbar, wenn mich jemand ein wenig durch diese Aufgabe führt! Gott

12.08.2016, 13:40

Mathema

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Zitat:

Kann es sein, dass ich nun die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f_x \end{eqnarray*}$ bestimmen muss?

Das wäre ein Anfang. Und wenn du schon dabei bist kannst du ja die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f_y \end{eqnarray*}$ gleich mitbestimmen.

12.08.2016, 13:49

FaithNoMore

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Vielen Dank für die schnelle Antwort! smile

Also die Nullstellen für $\begin{eqnarray*} f_x \end{eqnarray*}$ sind hier $\begin{eqnarray*} x_1 = \frac{5}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 = -1 \end{eqnarray*}$ . Die Nullstellen für $\begin{eqnarray*} f_y \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} y_1 = -\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=-1 \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich jetzt weiterrate, was mein Skript mir sagt, muss ich nun die Ableitungen $\begin{eqnarray*} f_{xx}, f_{yy}, f_{xy}, f_{yx} \end{eqnarray*}$ bilden und jeweils alle Kombinationen meiner x- und y-Stellen in die Gleichung $\begin{eqnarray*} f_{xx} \cdot f_{yy} - f^2_{xy} \end{eqnarray*}$ einsetzen und schauen, dass dabei immer ein Wert größer als 0 herauskommen muss, damit ein Extremum vorliegt? verwirrt

12.08.2016, 13:57

Mathema

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Ja richtig - du hast 4 kritische Stellen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f_{xx} \cdot f_{yy} - f^2_{xy} \end{eqnarray*}$

Auch richtig - diese Rechnung bestimmt genau die Determinante der Hesse-Matrix.

$\begin{eqnarray*} H_f(x,y)=\begin{vmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

12.08.2016, 14:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von FaithNoMore
und jeweils alle Kombinationen meiner x- und y-Stellen in die Gleichung $\begin{eqnarray*} f_{xx} \cdot f_{yy} - f^2_{xy} \end{eqnarray*}$ einsetzen

Hier wäre noch folgendes anzumerken: Das mit den "Kombinationen meiner x- und y-Stellen" liegt natürlich daran, weil hier die Sondersituation vorliegt, dass $\begin{align*} f_x \end{align*}$ nur von $\begin{align*} x \end{align*}$ , und $\begin{align*} f_y \end{align*}$ nur von $\begin{align*} y \end{align*}$ abhängt - auch erkennbar an der Tatsache $\begin{align*} f_{xy}=0 \end{align*}$ .

I.a. liegt natürlich nicht eine solch bequeme Situtation vor, da sind dann echt die Lösungspaare des Gleichungssystems $\begin{align*} f_x=0,f_y=0 \end{align*}$ zu bestimmen, die sich im allgemeinen Fall nicht durch solcherart Kombinationen bilden lassen. Augenzwinkern

12.08.2016, 14:29

FaithNoMore

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Guuut, ich bekomme dann für
$\begin{eqnarray*} f_{xx} = 6x-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{yy} = 6y+4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{xy} = f_{yx} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Nun bekomme ich heraus
$\begin{eqnarray*} \triangle(-1,-1) = 16 > 0 \end{eqnarray*}$ also existiert Extremum
$\begin{eqnarray*} \triangle(-1, -\frac{1}{3}) =-92 < 0 \end{eqnarray*}$ es existiert kein Extremum
$\begin{eqnarray*} \triangle(\frac{5}{3}, -1) = -16 < 0 \end{eqnarray*}$ wieder kein Extremum
$\begin{eqnarray*} \triangle(\frac{5}{3}, -\frac{1}{3}) = 16 > 0 \end{eqnarray*}$ es existiert ein Extremum

Sooo... nun ein letztes Mal Raten, was das Skript von mir will. Kann es sein, dass ich nun nur noch entweder in $\begin{eqnarray*} f_{xx} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f_{yy} \end{eqnarray*}$ meine Extrempunkte einsetzen muss, um nun herauszufinden, ob es sich um Maxima oder Minima handelt? verwirrt

12.08.2016, 14:49

Mathema

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \triangle(-1, -\frac{1}{3}) =\textcolor{red}{-92} < 0 \end{eqnarray*}$

Da habe ich was anderes raus. Richtig - das kannst du schon ablesen, wenn du dir die Matrix aufschreibst:

$\begin{eqnarray*} \det H_f(-1,-1)=\det \begin{vmatrix} -8 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} =16>0 \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2f}{\partial x^2}(-1,-1)=-8<0 \rightarrow Max \end{eqnarray*}$

Du könntest auch wie bei Wiki vorgeschlagen gleich die Eigenwerte der Matrix berechnen und somit die Definitheit der Matrix untersuchen. Hier also:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -8-\lambda & 0 \\ 0 & -2-\lambda \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Und somit $\begin{eqnarray*} (-8-\lambda)(-2-\lambda)=0 \end{eqnarray*}$ mit den Lösungen:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1=-8\text{ und } \lambda_2=-2 \end{eqnarray*}$

Da alle Eigenwerte negativ sind, ist diese Matrix negativ definit und somit liegt ein Maximum vor.

12.08.2016, 15:06

FaithNoMore

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Ah, vielen vielen Dank für die gute Hilfe! Gott

Ich habe jetzt für $\begin{eqnarray*} (-1,-1) \end{eqnarray*}$ als ein Maximum und für $\begin{eqnarray*} (\frac{5}{3},-\frac{1}{3}) \end{eqnarray*}$ als ein Minimum berechnet.
Und du hattest Recht, ich habe mich verrechnet
$\begin{eqnarray*} \triangle (-1, -\frac{1}{3}) = -16 < 0 \end{eqnarray*}$ ! smile

Perfekt, dann habe ich das Ganze jetzt durchblickt.
Großes Dankeschön nochmal! smile

12.08.2016, 18:45

HAL 9000

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Jetzt, da die Primärhilfe durch ist:

Da man hier $\begin{align*} f(x,y)=g(x)+h(y) \end{align*}$ mit $\begin{align*} g(x)=x^3-x^2-5x+3 \end{align*}$ und $\begin{align*} h(y)=y^3+2y^2+y \end{align*}$ zerlegen kann, ist eigentlich auch mit bloßer eindimensionaler Analysis recht klar was passiert:

Die lokalen Maximumstellen $\begin{align*} x_1 \end{align*}$ von $\begin{align*} g \end{align*}$ und $\begin{align*} y_1 \end{align*}$ von $\begin{align*} h \end{align*}$ als Paar $\begin{align*} (x_1,y_1) \end{align*}$ kombiniert ergeben eine lokale Maximumstelle von $\begin{align*} f \end{align*}$ .

Die lokalen Minimumstellen $\begin{align*} x_2 \end{align*}$ von $\begin{align*} g \end{align*}$ und $\begin{align*} y_2 \end{align*}$ von $\begin{align*} h \end{align*}$ ergeben eine lokale Minimumstelle $\begin{align*} (x_2,y_2) \end{align*}$ von $\begin{align*} f \end{align*}$ .

Die restlichen beiden Kombinationen $\begin{align*} (x_1,y_2) \end{align*}$ und $\begin{align*} (x_2,y_1) \end{align*}$ sind hingegen Sattelpunktstellen von $\begin{align*} f \end{align*}$ .

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