Ableitung eines Matrixproduktes

12.08.2016, 13:52	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung eines Matrixproduktes Hallo, Ich habe eine Matrix $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ der Dimension $\begin{eqnarray} N \times D \end{eqnarray}$ . Ich suche die Ableitung des Ausdruckes $\begin{eqnarray} XX^T \end{eqnarray}$ nach jeder einzelnen Komponente von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Gibt es hier einen kompakten Ausdruck vielleicht in Form von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray*}$ ? Ich habe mir folgende Literatur angeschaut, komme aber mit der Tabelle 6 nicht weiter: http://www3.nd.edu/~kyuan/courses/StatMe...-derivative.pdf Grüße % edit: ich meinte Tabelle 6
12.08.2016, 14:17	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung eines Matrixproduktes Spricht etwas gegen die Produktregel? Edit: Auf Seite 183 steht es doch sogar.
12.08.2016, 14:36	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ja das habe ich gesehen. Ich suche aber nach einem kompakten Ausdruck, der mir alle Ableitungen zugleich liefert in einem Aufwasch. Ich bin etwas weiter gekommen: Leite ich $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ nach der i-ten Spalte ab, kann ich es schreiben als (in Matlabnotation): 2 * repmat(X(:,i),1,D) .* X; Diesen Ausdruck muss ich dann eben $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ mal anwenden. Die Zeile ist dann jeweils die Ableitung. Ich glaube einfacher geht es kaum, oder? Ich erhalte damit D Matrizen der obigen Form.
12.08.2016, 14:39	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung eines Matrixproduktes Ich bezweifle, dass es simpler geht als das. Man haette es sicher auch in das Buch geschrieben, wenn es was schoenes gegeben haette.
16.08.2016, 10:49	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemein gilt: Differenziert man eine Größe $\begin{eqnarray} a_{i_1...i_m} \end{eqnarray}$ mit m Indizes nach einer Größe $\begin{eqnarray} b_{i_1...i_n} \end{eqnarray}$ mit n Indizes, so ensteht eine Größe mit n+m Indizes. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Beispiel: Differenziert man z.B. eine Matrix $\begin{eqnarray} a_{hi} \end{eqnarray}$ nach einem Matrixelement $\begin{eqnarray} a_{jk} \end{eqnarray}$ , so erhält man $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{hi}}{a_{jk}}=\delta_{hj}\delta_{ik} \end{eqnarray}$ In Matrixschreibweise bedeutet das speziell j=2 und k=3 $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial}{\partial a_{23}} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}= \delta_{h2}\delta_{i3} \end{eqnarray}$ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Du willst das Matrixprodukt $\begin{eqnarray} AA^T=\sum\limits_{i=1}^{3} a_{hi}a_{ji} \end{eqnarray}$ nach einem Matrixelement differenzieren, z.B. nach $\begin{eqnarray} a_{23} \end{eqnarray}$ . Das ergibt also $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial}{\partial a_{23}} \left ( AA^T\right )=\tfrac{\partial A}{\partial a_{23}}A^T+A\tfrac{\partial A^T}{\partial a_{23}} \end{eqnarray}$ In Indexschreibweise bedeutet das $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial}{\partial a_{23}} \left ( \sum\limits_{i=1}^{3} a_{hi}a_{ji}\right )= \underbrace{\sum\limits_{i=1}^{3} \tfrac{\partial a_{hi}}{\partial a_{23}}a_{ji}+\sum\limits_{i=1}^{3} a_{hi}\tfrac{\partial a_{ji}}{\partial a_{23}}}_{\text{Produktregel}} \end{eqnarray}$ In den Summen auf der rechten Seite ersetzen wir die beiden Ableitungen mit der obigen Regel $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial}{\partial a_{23}} \left ( AA^T\right )=\sum\limits_{i=1}^{3} \delta_{h2}\delta_{i3}a_{ji}+\sum\limits_{i=1}^{3} a_{hi}\delta_{j2}\delta_{i3} \end{eqnarray}$ Die Kronecker-Deltas $\begin{eqnarray} \delta_{i3} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \delta_{i2} \end{eqnarray}$ töten jeweils die Summen über i. Es bleibt also $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial}{\partial a_{23}} \left ( AA^T\right )= \delta_{h2}a_{j3}+ a_{h3}\delta_{j2}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & a_{13} & 0 \\ 0 & a_{23} & 0 \\ 0 & a_{33} & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & a_{13} & 0 \\ a_{13} & 2a_{23} & a_{33} \\ 0 & a_{33} & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Insbesondere ist diese 1.Ableitung symmetrisch.
16.08.2016, 11:02	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Das was ich oben geschrieben habe als Lösung in Matlab ist nicht richtig! Kannst du dir eventuell auch noch meinen anderer Post ansehen Ableitung einer Matrix mit Parametern .
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