Cesàro-Mittel Fortsetzung

13.08.2016, 09:32

StrunzMagi

Cesàro-Mittel Fortsetzung

Banachlimes 2.
Aus dem Satz von Hahn-Banach der in der Funktionalanalyis besprochen wird folgt, dass das lineare Funktional LIM aus dem letzten Beispiel auf alle beschränkten Folgen ausgedehnt werden kann, so dass weiterhin c) aus dem letzten Beispiel gültig bleibt (diese Erweiterung ist nicht eindetig). Zeige, dass jede solche Erweiterunf folgende Eiegenschaften hat:

EDIT: Funktionalanalysis hatten wir noch nicht also können keine Kenntnisse vorausgesetzt werden.
EDIT2: c) LIM linear und $\begin{eqnarray*} |LIM(x)| \le ||x||_{\infty} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} ||x||_{\infty}= sup_{n\in \mathbb{N}} |x_n| \end{eqnarray*}$
a) Es gilt weiterhin $\begin{eqnarray*} LIM(Sx)=LIM(x) \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} LIM(X) \ge 0 \end{eqnarray*}$ für alle nichtnegativen Folgen, $\begin{eqnarray*} x_n \ge 0 \forall n \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} \lim\inf_n x_n \le LIM(x) \le \lim\sup x_n \end{eqnarray*}$
Hinweis: b) Untersuche $\begin{eqnarray*} LIM(e-x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \ge 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ||x||_{\infty}=1, e=(1,1,1,...) \end{eqnarray*}$

Hallo,
a)Sei $\begin{eqnarray*} x \in l^{\infty} (\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} LIM(X) \end{eqnarray*}$ existiert. Es folgt $\begin{eqnarray*} Sx \in l^{\infty} (\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} LIM(SX) \end{eqnarray*}$ existiert.
$\begin{eqnarray*} LIM(SX-X)= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_{k+1} - x_k = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n} (x_{n+1}-x_n)=0 \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} x \in l^{\infty} (\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$
Es folgt $\begin{eqnarray*} Sx -x \in c(\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$
Aus der Linearität $\begin{eqnarray*} 0=LIM(Sx-x)=LIM(Sx)-LIM(x) \Rightarrow LIM(Sx)=LIM(x) \end{eqnarray*}$

b)
Für $\begin{eqnarray*} a \in l^{\infty} (\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$ mit keinen negativen Gliedern gilt $\begin{eqnarray*} LIM(a)= \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k \ge \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n}{n}=0 \end{eqnarray*}$
Und das muss ich jetzt auch für unbeschränkte Folgen zeigen oder wie? SOnt stände der Hinweis ja auch nicht da..
Die in b) definierten Folgen sind beschränkt $\begin{eqnarray*} e,x \in l^{\infty} (\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$ also existiert ein $\begin{eqnarray*} LIM(e)=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n 1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} | LIM(x)| \le ||x||_{\infty}=1 \end{eqnarray*}$

c) kommt dann wenn b) steht.
LG,MaGi

13.08.2016, 09:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von StrunzMagi
dass das lineare Funktional LIM aus dem letzten Beispiel auf alle beschränkten Folgen ausgedehnt werden kann

Ging es nicht im "letzten Beispiel" schon um beschränkte Folgen? Oder hast du dich hier verschrieben, und meinst hier unbeschränkt (jedenfalls redest du weiter unten plötzlich und unvermittelt davon)? Erstaunt1

EDIT: Vergiss es.

13.08.2016, 10:54

StrunzMagi

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Du hast es zwar editiert aber ich schreib trotzdem kurz meine Gedanken dazu:
Im vorigen Bsp war $\begin{eqnarray*} c(\mathbb{N}) \subset l^{\infty} (\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$ die Teilmenge alle Folgen für die der Grenzwert der Cesaro Mittel $\begin{eqnarray*} LIM(x)=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_k \end{eqnarray*}$ existiert.
Aber nicht für alle beschränkten Funktionen existiert das Cesaro Mittel. Und nach dem Satz in der Funktionalanalysis kann man allen beschränkten Folgen solch einen Grenzwert zuweisen so dass dieser Linear ist und $\begin{eqnarray*} |LIM(x)| \le ||x||_{\infty} \end{eqnarray*}$ erfüllt.

Für c)
Fixiere $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb{N}: n \ge N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} (x_1+..+x_n) \le \frac{1}{n} (x_1+..+x_N + (n-N) sup\{x_{N+1},..,x_n\}) \le \frac{1}{n} \sum_{j=1}^N x_j + \frac{n-N}{n} sup_{j > N} \le \frac{1}{n} \sum_{j=1}^N x_j + sup_{j > N} \end{eqnarray*}$
Gehe mit $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ so ist $\begin{eqnarray*} LIM(x) \le sup_{j > N} x_j \forall N \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^N x_j \end{eqnarray*}$ ist ja mit fixierten N eine Nullfolge für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$
Gehe mit $\begin{eqnarray*} N \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ so ist $\begin{eqnarray*} LIM(x) \le \lim_{N\rightarrow \infty} sup_{j > N} x_j = \lim\sup x_n \end{eqnarray*}$
Und für das Infimum so ähnlich (auf meinen Zeiten natürlich ausgeführt)

Mir bereitet nur b) Sorgen, da ich den Hinweis nicht verwerten kann.

13.08.2016, 11:04

IfindU

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Deine Beweise sind momentan alle ausschließlich für Folgen $\begin{eqnarray*} c(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ . Für die anderen Folgen in $\begin{eqnarray*} \ell^\infty(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ existiert der entsprechende Limes nicht (nach Definition) und daher macht es für $\begin{eqnarray*} x \in \ell^\infty(\mathbb N) \setminus c(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n x_k \end{eqnarray*}$ keinen Sinn.

Der Satz von Hahn-Banach sagt es gibt eine stetige Fortsetzung, gibt aber keine explizite Formel an. Und wie in der Aufgabe bemerkt wird, ist die Fortsetzung auch nicht eindeutig.

Alles was du benutzen kannst: Das Funktional ist stetig und linear -- und wenn man eine Folge aus $\begin{eqnarray*} c(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ kommt wirklich das klassische Cesaro Mittel $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n x_k \end{eqnarray*}$ heraus.

Edit: a) ist in Ordnung, weil du gerade zeigst, dass $\begin{eqnarray*} Sx - x \in c(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ . Für b) musst du dir etwas anderes einfallen lassen.

13.08.2016, 12:13

StrunzMagi

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Danke für die Aufklärung! STimmt dann sind die Beweise für b) und c) zu wenig.
Aber stetigkeit steht nicht in der Aufgabe!
Benutzbar: Linearität , $\begin{eqnarray*} |LIM(x)| \le ||x||_{\infty} \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in \mathbb{N}} \in c(\mathbb{N}): LIM(x)= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n x_k \end{eqnarray*}$ .

Mein Versuche zu b)
Wie im Hinweis: $\begin{eqnarray*} x \ge 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ||x||_{\infty}=1, e=(1,1,1,...) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e \in c(\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n 1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} LIM(e)=1 \end{eqnarray*}$
Nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} |LIM(x)| \le ||x||_{\infty}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||e-x||_{\infty} \le ||e||_{\infty} + ||x||_{\infty} = 2 \Rightarrow |LIM(e-x)| \le 2 \end{eqnarray*}$
D.h. $\begin{eqnarray*} LIM(e) - LIM(x) =LIM(e-x)\le |LIM(e-x)| \le 2 \end{eqnarray*}$
D.h. $\begin{eqnarray*} LIM(e) \le 2+ LIM(x) \end{eqnarray*}$
D.h. $\begin{eqnarray*} -1 \le LIM(x) \end{eqnarray*}$

Anderer Versuch
$\begin{eqnarray*} Lim(e-x)=LIM(e)-LIM(x)=1-LIM(x) \ge 0 \end{eqnarray*}$

LG,
MaGi

13.08.2016, 12:39

IfindU

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Zitat:

Original von StrunzMagi
Danke für die Aufklärung! STimmt dann sind die Beweise für b) und c) zu wenig.
Aber stetigkeit steht nicht in der Aufgabe!
Benutzbar: Linearität , $\begin{eqnarray*} |LIM(x)| \le ||x||_{\infty} \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in \mathbb{N}} \in c(\mathbb{N}): LIM(x)= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n x_k \end{eqnarray*}$ .

Bei Linearen Abbildung ist Stetigkeit äquivalent zur Beschränkheit, wie du sie aufführst. Um genau zu sein hat man sogar Lipschitz-Stetigkeit, wie man in einer Zeile beweisen kann.

Zitat:

Original von StrunzMagi
D.h. $\begin{eqnarray*} -1 \le LIM(x) \end{eqnarray*}$

Das hätte man leichter aus $\begin{eqnarray*} |LIM(x)| \leq \|x\| \end{eqnarray*}$ gewinnen können.

Zitat:

Original von StrunzMagi
Anderer Versuch
$\begin{eqnarray*} Lim(e-x)=LIM(e)-LIM(x)=1-LIM(x) \ge 0 \end{eqnarray*}$

Sieht nach einem deutlich besser Start aus.

13.08.2016, 17:27

StrunzMagi

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Hallo
$\begin{eqnarray*} LIM: l^{\infty}(\mathbb{N}) \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} | LIM(x)-LIM(y)|=|LIM(x-y)| \le ||x-y||_{\infty} \end{eqnarray*}$
Lipschitzstetigkeit der linearen Abbildung.

Mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie man mit e und x auf die zu beweisende Aussage kommen kann, denn x ist ja auch speziell gewählt mit $\begin{eqnarray*} ||x||_{\infty}=1 \end{eqnarray*}$
Es gilt $\begin{eqnarray*} 1 \ge sup_{n\in \mathbb{N}} |1-x_n|=||e-x||_{\infty} \ge LIM(e-x) \ge 0 \end{eqnarray*}$
Daraus folgt $\begin{eqnarray*} 1 \ge LIM(e)-LIM(x) \ge 0 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \iff 1 \ge 1-LIM(x) \ge 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \iff LIM(x)\ge 0 \ge LIM(x)-1 \end{eqnarray*}$

13.08.2016, 19:04

IfindU

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Es sind hier ein paar Standardtricks: Sei $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \| x \| > 0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} y := \frac x { \| x\| } \end{eqnarray*}$ beschränkt mit $\begin{eqnarray*} \|y \| = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} LIM(y) = \frac 1 { \|x \|} LIM(x) \end{eqnarray*}$ , insbesondere $\begin{eqnarray*} LIM(y) \geq 0 \iff LIM(x) \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Daher wuerdest du in Buechern immer: "OBdA $\begin{eqnarray*} \|x \| = 1 \end{eqnarray*}$ " lesen.

Und mit $\begin{eqnarray*} LIM(e - x ) \geq 0 \end{eqnarray*}$ bist du eigentlich schon fertig. Nach oben reicht es für $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \| x \| \leq 1 \end{eqnarray*}$ zu arbeiten, und zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} LIM(x) \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Der Trick ist nun, dass $\begin{eqnarray*} y := e - x \end{eqnarray*}$ zu betrachten. Offenbar ist $\begin{eqnarray*} y \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \|y \| \leq 1 \end{eqnarray*}$ . Diese "Spiegelung" ist bijektiv auf der Menge mit diesen Eigenschaften, und daher reicht es aus dein gezeigtes zu zeigen.

14.08.2016, 20:46

StrunzMagi

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Frage: Durch deine Vorbemerkung genügt es doch die Aussage für nichtnegative Folgen mit $\begin{eqnarray*} ||x||_{\infty}=1 \end{eqnarray*}$ zuzeigen wenn wir nicht die Nullfolge haben(Ist $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ so $\begin{eqnarray*} \lim_{k\rightarrow \infty} \frac{ 0}{k}=0 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} LIM(x)=0 \end{eqnarray*}$ .)
$\begin{eqnarray*} 1 \ge sup_{n \ge N} |1-x_n|=||e-x||_{\infty} \ge LIM(e-x)=1- Lim(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \iff 1 \ge 1 - LIM(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \iff Lim(x) \ge 0 \end{eqnarray*}$
Wäre dass dann nicht hier schon fertig? Was ist falsch daran?

Ich denke c) hab ich:
Aus b) und der Linearität folgt: Ist $\begin{eqnarray*} x \le y \Rightarrow 0 \le y-x \Rightarrow LIM(y-x)\ge0 \Rightarrow LIM(y) \ge LIM(x) \end{eqnarray*}$
Für die konstanten Folgen $\begin{eqnarray*} inf_{n \in \mathbb{N}} x_n, sup_{n \in \mathbb{N}} x_n \end{eqnarray*}$ folgt dann $\begin{eqnarray*} inf_{n \in \mathbb{N}} x_n \le LIM(x) \le sup_{n \in \mathbb{N}} x_n \end{eqnarray*}$ .
Es folgt $\begin{eqnarray*} inf_{n \ge k} x_n \le LIM(S^k x) \le sup_n x_{n \ge k} \end{eqnarray*}$
Wegen a ist $\begin{eqnarray*} LIM(S^k x)=LIM(x) \end{eqnarray*}$ , d.h.: $\begin{eqnarray*} inf_{n \ge k} x_n \le LIM(x) \le sup_{n \ge k} x_n \end{eqnarray*}$

Gehe ich über zum Limes $\begin{eqnarray*} k \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ so erhalte ich c). Da bin ich mir nicht ganz sicher ob der Grenzübergang LIM(x) nicht verändert...

15.08.2016, 09:15

IfindU

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Zitat:

Original von StrunzMagi
Wäre dass dann nicht hier schon fertig? Was ist falsch daran?

Sei doch nicht so negativ Augenzwinkern