Wurzelgleichung

13.08.2016, 20:35	LightLife	Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzelgleichung Meine Frage: Hi, ich stehe hier vor folgender Gleichung: $\begin{eqnarray} \sqrt{4x-12}+ \sqrt[4]{x-3} -3 = 0 \end{eqnarray}$ Ich komme zwar auf Lösungen, die aber nicht alle aufgehen. Wie wäre am besten vorzugehen? Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \sqrt{4x-12} + \sqrt[4]{x-3} - 3 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2\sqrt[4]{x-3} * \sqrt[4]{x-3} + \sqrt[4]{x-3} - 3 = 0 \end{eqnarray}$ dann die 4. Wurzel von (x-3) als a festlegen: $\begin{eqnarray} 2a^{2} + a - 3 = 0 \end{eqnarray}$ ergibt die Lösungen a = 1 und a = -1.5 und weil a = $\begin{eqnarray} \sqrt[4]{x-3} : \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt[4]{x-3} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x-3 = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = 4 \end{eqnarray}$ Wenn ich hier die Probe mache geht es auf, aber nicht für a = -1,5: $\begin{eqnarray} -1.5 = \sqrt[4]{x-3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (-1.5)^{4} = x-3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = 129/16 \end{eqnarray*}$ Setze ich dies allerdings probeweise in die Gleichung ein, ergibt das eine falsche Aussage deswegen meine Frage: Ist irgendwo ein Rechenfehler? Ich bin das Ganze jetzt mehrmals durchgegangen und finde ihn einfach nicht...Vielen Dank ! Korrekturbeitrag entfernt und Gewünschtes korrigiert. Guppi12
13.08.2016, 21:39	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Reelle Wurzeln gerader Ordnung (sofern sie überhaupt existieren) sind grundsätzlich nur nichtegative Zahlen, daher hat dein $\begin{align} -1.5 = \sqrt[4]{x-3} \end{align}$ schlicht keine reellen Lösungen. Dein "hoch 4" ist eine nichtäquivalente Umformung, mit der du dir dann die Scheinlösung x=129/16 einhandelst. P.S.: Generell will ich aber mal noch anmerken, dass ich dein Vorgehen mit der Substitution $\begin{align} a=\sqrt[4]{x-3} \end{align}$ für die optimale Variante hier halte: Manch anderer hätte hier erst wild umgeformt und mehrfach quadriert/potenziert, um dann irgendwann eine Polynomgleichung viel höheren Grades zu kriegen, mit noch viel mehr Scheinlösungen.

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