Stetigkeit - Polarkoordinaten - Funktionen mehrerer Veränderlicher

14.08.2016, 15:34	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit - Polarkoordinaten - Funktionen mehrerer Veränderlicher Hallo zusammen, ich habe eine Frage zur Untersuchung auf Stetigkeit bei Funktionen mehrerer Veränderlicher. Wenn man die Funktion in Polarkoordinaten transformiert und auf Stetigkeit im Ursprung prüft. Wie genau geht man vor? Welche Möglichkeiten gibt es? Meine Ideen: Wenn $\begin{eqnarray} \lim_{r \to 0} f(r cos \varphi,r sin \varphi) - f(0,0) = 0 \end{eqnarray}$ gilt, ist f im Ursprung stetig. Stimmt das? Wenn ja, wieso? Wenn man ohne Polarkoordinaten arbeitet muss man theoretisch ja alle Wege prüfen, kann also nur durch Widerspruch zu einer Aussage kommen. Danke schonmal!
14.08.2016, 16:33	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit - Polarkoordinaten - Funktionen meherer Veränderlicher Wenn du den Winkel phi fixierst, dann prüfst du nur entlang von Geraden. Das reicht nicht für Stetigkeit. Was gilt ist. Es gilt aber wenn man die Konvergenz gleichmäßig in phi ist statt nur punktweise, also gilt $\begin{eqnarray} \lim_{r\to 0} \sup_{\varphi \in [0,2\pi]} \| f(r \cos \varphi, r \sin \varphi) - f(0,0)\| = 0. \end{eqnarray}$
14.08.2016, 17:17	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort! Also wenn $\begin{eqnarray} \lim_{r \to 0} \sup_{\varphi \in [0,2 \pi]} \|f(r cos \varphi, r sin \varphi) - f(0,0)\| = 0 \end{eqnarray}$ gilt, liegt Stetigkeit vor? Wie untersucht man den Limes von einem Supremum?
14.08.2016, 17:20	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau.

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