Cesàro-Mittel Fortsetzung2, Banachlimes, Gleichverteilung

15.08.2016, 10:18	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Cesàro-Mittel Fortsetzung2, Banachlimes, Gleichverteilung Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray} \mathbb{N} \end{eqnarray}$ Es sei LIM das in den letzten beiden Beispielen konstruierte Positive Funktional auf $\begin{eqnarray} l^{\infty} (\mathbb{N}) \end{eqnarray}$ . Definiere $\begin{eqnarray} P(A)=LIM(1_{A}), A \subseteq \mathbb{N} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} 1_A \end{eqnarray}$ die charakteristische Funktion der Menge A (aufgefasst als Folge) ist. Nach konstruktion ist $\begin{eqnarray} P: \mathcal{P}(\mathbb{N}) \rightarrow [0,1] \end{eqnarray}$ additiv. Sei $\begin{eqnarray} M:=\{A \subseteq \mathbb{N}: 1_A \in c(\mathbb{N})\} \end{eqnarray}$ a) M ist abgeschlossen unter Komplementen. b) M ist abgeschlossen unter der disjunkten Vereinigung (zweier Mengen). c) M ist nicht abgeschlossen unter dem Durchschnitt (zweier Mengen). Hinweis: Wähle eine Teilmenge gerader Zahlen $\begin{eqnarray} A_1 \not\in M \end{eqnarray}$ und die fehlenden geraden Zahlen $\begin{eqnarray} A_2 \end{eqnarray}$ . Nun betrachte $\begin{eqnarray} A=A_1 \cup A_2=2 \mathbb{N} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B= A_1 \cup \tilde{A_2} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \tilde{A_2}=A_2+1 \end{eqnarray}$ Hallo, a)b) habe ich erledigt. c) bereitet mir Schwierigkeiten. Mein Problem ist, dass ich nicht verstehe wie ich $\begin{eqnarray} A_1 \end{eqnarray}$ wählen soll, sodass $\begin{eqnarray} 1_{A_1} \not\in c(\mathbb{N}) \end{eqnarray}$ . D.h. $\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n 1_{A_1} (k) \end{eqnarray}$ existiert nicht. Nach Konstruktion wäre $\begin{eqnarray} A \cap B=A_1 \Rightarrow A \cap B \not\in M \end{eqnarray}$
15.08.2016, 10:27	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Banachlimes, Gleichverteilung Ich kenne nur die eine Art von Gegenbeispiel (und vermutlich auch die einzige die es gibt, da LIM ein ziemlich schwacher Grenzwert-Begriff ist). Es beruht auf der Beobachtung, dass für eine konvergente $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ mit Grenzwert $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ steht $\begin{eqnarray} LIM(a_k) = a \end{eqnarray}$ gilt. Nun nimmt man sich 2 Werte, beispielweise 0 und 1 weil es gut mit der charakteristischen Funktion passt. Man definiert sich die Folge erst einmal mit ein paar 1en. Dann ist $\begin{eqnarray} s_n := \frac 1 n \sum_{k =1}^n a_k \end{eqnarray}$ nahe an der 1 (genau 1, aber das werden wir nicht brauchen, und gleich nicht mehr haben). Dann fangen wir an die Folge mit Nullen zu fuellen, so dass $\begin{eqnarray} s_n \end{eqnarray}$ (späteres $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ) nahe genug an der 0 ist. Dann fangen wir wieder an solange mit 1en zu füllen, bis wir nahe an der 1 sind. Das Spielchen geht dann immer fleißig so weiter.

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