Ungleichung beweisen

15.08.2016, 15:51	Lostfe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung beweisen Meine Frage: zu zeigen $\begin{eqnarray} \sqrt(x) \geq \lg n \quad \forall n \geq 16 \end{eqnarray}$ Wie stelle ich das am geschicktesten an? Meine Ideen: Ich dachte daran erstmal den Logarithmus (zur Basis 2) loszuwerden $\begin{eqnarray} 2^{\sqrt n} \geq 2^{\lg n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow 2^{\sqrt n} \geq n \end{eqnarray}$ Es ist schon klar, dass für große n die Exponentialfunktion schneller steigt als die Identität, aber wie kann ich das präziser mit Hilfe von (Un-)Gleichungen ausdrücken?
15.08.2016, 15:53	Lostfe	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldigung, ganz oben muss es natürlich Wurzel aus n heißen
15.08.2016, 16:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für alle $\begin{align} t\geq 1 \end{align}$ kann man aus $\begin{align} \ln(10)>2 \end{align}$ folgern: $\begin{align} \lg(t^2)=2\lg(t)=\frac{2\ln(t)}{\ln(10)} \leq \ln(t)~{\color{red}\leq}~t-1<t \end{align}$ , was mit $\begin{align} t=\sqrt{n} \end{align}$ zu deiner Ungleichung führt - sie gilt also sogar für alle $\begin{align} n\geq 1 \end{align}$ . Ungleichung $\begin{align} {\color{red}\leq} \end{align}$ ist ein bekanntes analytisches Resultat, gültig sogar für alle $\begin{align} t>0 \end{align}$ , kann man natürlich auch noch extra nachweisen, sofern nötig.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »