Komplexe Exponentialfunktion (Bild)

15.08.2016, 19:28

Komplexes_Problem

Komplexe Exponentialfunktion (Bild)

Meine Frage:
Hallo!

Ich würde gerne die Funktion $\begin{eqnarray*} e^{ix} \end{eqnarray*}$ visualisieren, aber ich habe Probleme damit.

Meine Ideen:
Also ich kenne die Euler'sche Identität

$\begin{eqnarray*} e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x) \end{eqnarray*}$ ,

aber wie soll man das zeichnen?

Wäre über Hilfe sehr dankbar.

15.08.2016, 19:33

HAL 9000

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Du meinst, mit reellen $\begin{align*} x \end{align*}$ als Argument (eine Achse) und komplexen Funktionswert (zwei Achsen für Real- und Imaginärteil)? verwirrt

So.

15.08.2016, 19:38

Komplexes_Problem

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Ja, das meine ich.

Aber ich würde gerne Folgendes verstehen:

Der Funktionswert ist doch eine komplexe Zahl, nämlich $\begin{eqnarray*} \cos x+i\sin x \end{eqnarray*}$ .

Das heißt doch, dass man sich auf der komplexen Zahlenebene bewegt. Ich verstehe nicht, wieso man also eine Helix bekommt, wenn man im 2d lebt.

15.08.2016, 20:20

HAL 9000

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Lesen!!!

Zitat:

Original von HAL 9000
Du meinst, mit reellen $\begin{align*} x \end{align*}$ als Argument (eine Achse) und komplexen Funktionswert (zwei Achsen für Real- und Imaginärteil)? verwirrt

Macht summa summarum 1+2=3 Achsen für die Visualisierung des Graphen als Kurve im Raum. Forum Kloppe

15.08.2016, 20:26

Komplexes_Problem

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Achso, du meinst man identifiziert das mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x\\\cos(x)\\\sin(x)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Das müsste dann also eine Helix um die x-Achse bedeuten.

Kann man das als "travelling-wave" intepretieren oder erst wenn man sowas betrachtet wie

$\begin{eqnarray*} \exp(i((kx-\omega t)) \end{eqnarray*}$ , was eine travelling wave in x-Richtung sein müsste, wiederum eine Helix um die x-Achse nur eben diesmal wandernd.

16.08.2016, 09:59

Steffen Bühler

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Das geht stark in die Physik, in der Du ja davon ausgehen kannst, dass die Zeit t ohne weitere Vereinbarung linear ansteigt. Hier in Mathe ist t jedoch ohne weitere Vereinbarung eine Konstante.

Du willst aber offenbar auch bei jedem festem x einen Zeiger, der sich (mit der Zeit) um den Punkt (x|0|0)dreht. Das geht dann erst, wenn Du t als zweites Argument einführst: $\begin{align*} y(x,t)=e^{i(kx-\omega t)} \end{align*}$ .

Um das zu visualisieren, bräuchtest Du dann aber zwei Horizontalachsen, eine für t und eine für x.

Viele Grüße
Steffen

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