Integration 2 Wege, 2 verschiedene Ergebnisse!

15.08.2016, 20:36

Varus

Integration 2 Wege, 2 verschiedene Ergebnisse!

Hallo zusammen,
bei der Vorbereitung auf eine Klausur stehe ich gerade vor einem Problem was ich nicht nachvollziehen kann.

Und zwar geht es um folgendes:

Ich habe als Ausgangssituation diesen Ausdruck den ich gerne nach x integrieren möchte : $\begin{eqnarray*} F*x - F*a \end{eqnarray*}$ ,

dabei dachte ich mache ich es unkompliziert und klammere F ( $\begin{eqnarray*} F(x-a) \end{eqnarray*}$ ) nicht aus:
$\begin{eqnarray*} F/2*x^2-F*a*x \end{eqnarray*}$

Aber leider kommt in der Musterlösung folgendes aus $\begin{eqnarray*} F(x-a) \end{eqnarray*}$ raus:
$\begin{eqnarray*} F/2(x-a)^2 \end{eqnarray*}$

Hier geht es um Mechanik zum Berechnen von Durchbiegung und Neigungswinkel falls das wichtig sein könnte.

Ich stehe gerade auf dem Schlauch und kann es mir nicht nachvollziehen. Ich hoffe ich bekomme nicht den Kopf abgeschlagen weil ich irgendwas simples übersehe Hammer

Sorry in der Suchfunktion weiß ich nicht wonach ich suchen soll um mir hier weiter zu helfen Hilfe

Ich danke euch!

Gruß Varus

15.08.2016, 20:51

Mulder

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RE: Integration 2 Wege, 2 verschiedene Ergebnisse!

Zitat:

Original von Varus
$\begin{eqnarray*} F/2(x-a)^2 \end{eqnarray*}$

Wenn man das nun ausmultipliziert, steht da

$\begin{eqnarray*} \frac{F}{2} x^2 - Fax + \color{blue}\frac{F}{2}a^2 \end{eqnarray*}$

Der von mir blau markierte Term ist das einzige, was anders ist. Das ist aber nur ein konstanter (also nicht von x abhängiger) Summand. Und Stammfunktionen sind eben nur bis auf konstante Summanden eindeutig. Leite doch beide Ergebnisse mal wieder ab - es kommt in beiden Fällen das gleiche raus.

Dieses Missverständnis sieht man hier im Board sehr häufig. Kurzum: Beide Lösungswege sind in Ordnung. Dein Ergebnis ist ebenso richtig wie das in der Musterlösung. Im Falle von unbestimmter Integration fehlt natürlich ggf. noch eine Integrationskonstante. Siehe Ausführungen oben.

Also ja, du hast was "simples übersehen". Den Kopf abzuschlagen ist hier im Forum allerdings dennoch keine gängige Praxis. Augenzwinkern

16.08.2016, 07:20

Varus

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Hi Mulder,
danke für deine schnelle Antwort und dafür dass du mir nicht den Kopf abgeschlagen hast Forum Kloppe

. Nun ja, schon mal gut fürs Ego dass ich nicht falsch lag Freude

. Klar die Konstanten fehlen hier noch.

Allerdings wird später für x a eingesetzt was dann zu unterschiedlichen Ergebnissen führt:

$\begin{eqnarray*} F/2(x-a)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F/2(a-a)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F/2(a²-2a^2+a^2)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F/2*x^2-F*a*x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F/2*a^2-F*a^2<>0 \end{eqnarray*}$

Ziel ist es diesen Ausdruck auf Null zu bekommen damit er verschwindet und man zeigen kann dass C1 = D1 (siehe unten) ist. Was leider mit meiner gedachten Methode nicht funktioniert. Ist das einfach so beim Integrieren und man muss es einfach so hinnehmen oder gibt es hier eine logische Erklärung.

Hier mal der Auszug aus der Musterlösung:
$\begin{eqnarray*} (Fa^2b)/(2l)+C1 = (Fa^2b)/(2l)+F/2(a-a)^2+D1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (Fa^2b)/(2l)+C1 = (Fa^2b)/(2l)+D1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C1 = D1 \end{eqnarray*}$

Ich danke!
Gruß Varus!

16.08.2016, 08:37

klarsoweit

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RE: Integration 2 Wege, 2 verschiedene Ergebnisse!

Zitat:

Original von Varus
Ich habe als Ausgangssituation diesen Ausdruck den ich gerne nach x integrieren möchte : $\begin{eqnarray*} F*x - F*a \end{eqnarray*}$ ,

Du mußt schon feinfühlig unterscheiden zwischen der Berechnung eines bestimmten Integrals (das ich hier bislang nicht sehe) und der Bestimmung einer Stammfunktion. Wenn du in unterschiedlichen Stammfunktionen (der Unterschied ist bekanntlich eine Konstante) die Funktionswerte an einer bestimmten Stelle ausrechnest, kommt natürlich auch etwas anderes heraus.

16.08.2016, 08:40

Varus

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Also, es ist ein unbestimmtes Integral. Die genannte Funktion (oder Ausschnitt) ist die 2te Ableitung und ich möchte gerne die Ursprungsfunktion erhalten. Dabei kommen 2 Konstante raus die im Nachgang mit Randbedingungen ermittelt werden müssen. Dabei wird dann x=a gesetzt (da Teil der Randbedingungen) um diese Konstanten zu bestimmen.

16.08.2016, 09:20

klarsoweit

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RE: Integration 2 Wege, 2 verschiedene Ergebnisse!
Das ist mir leider noch zu diffus. Verstanden habe ich, daß du $\begin{eqnarray*} F*x - F*a \end{eqnarray*}$ zweimal integrierst. Was genau sind denn jetzt die Randbedingungen?

16.08.2016, 09:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von Varus
Dabei kommen 2 Konstante raus die im Nachgang mit Randbedingungen ermittelt werden müssen. Dabei wird dann x=a gesetzt (da Teil der Randbedingungen) um diese Konstanten zu bestimmen.

Durch eben diese Randbedingungen wird die Sache aber wieder eindeutig - ganz egal, ob du mit Stammfunktion $\begin{align*} \frac{F}{2}*x^2-F*a*x+C_1 \end{align*}$ arbeitest und über die Randbedingung $\begin{align*} C_1 \end{align*}$ bestimmst, oder mit Stammfunktion $\begin{align*} \frac{F}{2}*(x-a)^2+C_2 \end{align*}$ arbeitest und über die Randbedingung $\begin{align*} C_2 \end{align*}$ bestimmst!!! Augenzwinkern

P.S.: Das ist natürlich die Situation bei einmaliger Integration und einer Randbedingung. Bei zweimaliger Integration und dann wohl zwei Randbedingungen verhält es sich natürlich ähnlich.

16.08.2016, 11:22

Varus

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Hi,
danke für eure Hilfe.
Glaube wir reden noch aneinander vorbei oder ich raff es nicht Lehrer

Also Ausgangssituation sieht so aus:

Das ist meine Gleichung für Bereich 1:
$\begin{eqnarray*} w1''=-F*b*x/l \end{eqnarray*}$
Einmal Integriert nach Variante "Musterlösung" und "Eigen":
$\begin{eqnarray*} w1'=-F*b*x^2/(2*l)+C1 \end{eqnarray*}$

Das ist meine Gleichung für Bereich 2 nach "Musterlösung":
$\begin{eqnarray*} w2''=-F*b*x/l+F(x-a) \end{eqnarray*}$
Einmal Integriert nach Variante Musterlösung:
$\begin{eqnarray*} w2'=-F*b*x^2/(2*l)+(F/2)*(x-a)^2+D1 \end{eqnarray*}$

Das ist meine Gleichung für Bereich 2 nach Variante "Eigen":
$\begin{eqnarray*} w2''=-F*b*x/l+F*x-F*a \end{eqnarray*}$
Einmal Integriert nach Variante "Eigen":
$\begin{eqnarray*} w2'=-F*b*x^2/(2*l)+(F/2)*x^2-F*a*x+D1 \end{eqnarray*}$

Und nun möchte ich $\begin{eqnarray*} D1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C1 \end{eqnarray*}$ Lösen, bzw. da es nur ein Ausschnitt der Lösung ist zeigen, dass mit mit Hilfe der Randbedingung beide Variante "Eigen" und "Musterlösung" $\begin{eqnarray*} D1=C1 \end{eqnarray*}$ ist, was aber nicht funktioniert:

Hier die Randbedingungen:
$\begin{eqnarray*} w1'(x=a)=w2'(x=a) \end{eqnarray*}$

Auflösen nach Musterlösung:
$\begin{eqnarray*} w1'(x=a)=w2'(x=a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -F*b*a^2/(2*l)+C1=-F*b*a^2/(2*l)+(F/2)*(a-a)^2+D1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C1=D1 \end{eqnarray*}$

Auflösen nach Eigen:
$\begin{eqnarray*} w1'(x=a)=w2'(x=a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -F*b*a^2/(2*l)+C1=-F*b*a^2/(2*l)+(F/2)*a^2-F*a*a+D1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C1=D1-(F/2)*a^2 \end{eqnarray*}$

Das ist mein Problem dass hier bei meiner Lösung nicht $\begin{eqnarray*} C1=D1 \end{eqnarray*}$ raus kommt. Hoffe das Problem ist nun besser erkennbar verwirrt

Danke Euch!

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