Flächeninhalt Parallelogramms - Vektoren

16.08.2016, 06:25	Lord_Deppius	Auf diesen Beitrag antworten »
Flächeninhalt Parallelogramms - Vektoren Meine Frage: Hallo Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe: latex Der Flächeninhalt des von $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ aufgespannten Parallelogramms ist gleich $\begin{eqnarray} \| \vec{a} \end{eqnarray}$ x $\begin{eqnarray} \vec{b} \| \end{eqnarray}$ . Beweise diese Aussage, indem du zunächst $\begin{eqnarray} \| \vec{a} \|^2 \|\vec{b}\|^2 * sin^2 = \vec{a}^2 * \vec{b}^2 - (\vec{a} * \vec{b})^2 \end{eqnarray}$ zeigst. Meine Ideen:* Nun ja, ich hab mehr oder weniger keinen Plan. Bei sin^2 kam mir 1-cos^2 in den Sinn und hab das einfach mal gemacht: $\begin{eqnarray} \| \vec{a} \|^2 \| \vec{b} \|^2 * sin^2 = \| \vec{a} \|^2 * \| \vec{b} \|^2 (1-cos^2) \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \| \vec{a} \|^2 \| \vec{b} \|^2 - \| \vec{a} \|^2 * \| \vec{b} \|^2 * cos^2 = \vec{a}^{2} * \vec{b}^2 - ( \vec{a} * \vec{b} )^2 \end{eqnarray*}$ Aber weiter komm ich nicht, noch weiss ich, ob das was bringt.
16.08.2016, 09:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch wenn es hier nur um einen Winkel geht und deswegen kaum Verwechslungsgefahr besteht, sieht es besch..en aus, wenn du das Argument der Winkelfunktionen sin/cos einfach weglässt. Ok, du sollst $\begin{align} \|\vec{a}\|^2\cdot \|\vec{b}\|^2\cdot \sin^2(\angle(\vec{a},\vec{b})) = \vec{a}^2\cdot \vec{b}^2 - (\vec{a}\vec{b})^2 \end{align}$ beweisen, ich hab mal noch zur deutlichen Unterscheidung für das reelle Produkt $\begin{align} \cdot \end{align}$ und für das Skalarprodukt $\begin{align} * \end{align}$ verwendet. Dein Beweis ist soweit Ok, und wenn du $\begin{align} \vec{a}\vec{b}= \|\vec{a}\|\cdot \|\vec{b}\|\cdot \cos(\angle(\vec{a},\vec{b})) \end{align}$ verwenden darfst, bist du fast fertig.

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