Berechnung eines isolierten lokalen Maximums

16.08.2016, 11:17

Shalec

Berechnung eines isolierten lokalen Maximums

Hallo allerseits,
um ein isoliertes lokales Maximum von der Abbildung f zu bestimmen ist doch folgender Algorithmus zielführend?

1.) Berechne die Punkte, an denen der Gradient von f verschwindet.
2.) Berechne die Hessematrix und setze die Punkte ein. ( $\begin{eqnarray*} Hess_f(x,y) \end{eqnarray*}$ )
3.) Bestimme die Eigenwerte.

Anhand der Eigenwerte lässt sich dann eine Entscheidung treffen. (alle positiv => Min, negativ => Max, verschieden oder alle 0 => Sattelpunkt)

Nun zur Aufgabe, bei der ich ein Problem habe:

$\begin{eqnarray*} f:\ \mathbb R^2 \to \mathbb R, (x,y)\mapsto \cos(x^2+y^2) \end{eqnarray*}$
Diese soll bei $\begin{eqnarray*} (x,y)=(0,0) \end{eqnarray*}$ ein isoliertes lokales Maximum haben.

Problem: Ich habe den obigen Algorithmus verwendet und erhalte, dass $\begin{eqnarray*} Hess_f(0,0)=0 \end{eqnarray*}$ die 0-Matrix ist. Nun meine Teilergebnisse:

$\begin{eqnarray*} grad_f(x,y) = ( -2x\sin(x^2+y^2), -2y\sin(x^2+y^2) ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Hess_f(x,y) = \begin{pmatrix} -2\sin(x^2+y^2)-4x^2\cos(x^2+y^2) & -4xy\cos(x^2+y^2)\\ -4xy\cos(x^2+y^2) & -2\sin(x^2+y^2)-4y^2\cos(x^2+y^2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Berechne ich nun $\begin{eqnarray*} Hess_f(0,0) \end{eqnarray*}$ ist direkt zu sehen, dass bei dieser Matrix jeder Eintrag verschwindet. Damit sind auch die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_i=0 \end{eqnarray*}$ und somit ist dieser Punkt (sagt man das so?) entartet, womit folgt, dass (0,0) ein Sattelpunkt sein muss. Ich habe dies mehrfach durchgerechnet und finde einfach meinen Fehler nicht.

Viele Grüße und vielen Dank für die Hilfe.

Anhang
Allgemeine Definition des Gradienten: $\begin{eqnarray*} grad_f(x,y)= ( \partial_x f(x,y), \partial_y f(x,y) ) \end{eqnarray*}$
Def Hessematrix: $\begin{eqnarray*} Hess_f(x,y) = \begin{pmatrix} \partial_x\partial_x f(x,y) & \partial_y\partial_x f(x,y)\\ \partial_x\partial_y f(x,y) & \partial_y\partial_y f(x,y) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

16.08.2016, 11:24

klarsoweit

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RE: Berechnung eines isolierten lokalen Maximums
Die Schlußfolgerung, daß aus Eigenwerten Null ein Sattelpunkt folgt, ist falsch, wie man auch an dieser Funktion sehen kann:

$\begin{eqnarray*} f:\ \mathbb R^2 \to \mathbb R, (x,y)\mapsto x^4+y^4 \end{eqnarray*}$

16.08.2016, 18:26

Shalec

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RE: Berechnung eines isolierten lokalen Maximums

Zitat:

Original von klarsoweit
Die Schlußfolgerung, daß aus Eigenwerten Null ein Sattelpunkt folgt, ist falsch, wie man auch an dieser Funktion sehen kann:

$\begin{eqnarray*} f:\ \mathbb R^2 \to \mathbb R, (x,y)\mapsto x^4+y^4 \end{eqnarray*}$

Wie kann ich in diesem Fall dann auf das korrekte Ergebnis schließen?

Viele Grüße und danke

16.08.2016, 19:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von Shalec
$\begin{eqnarray*} f:\ \mathbb R^2 \to \mathbb R, (x,y)\mapsto x^4+y^4 \end{eqnarray*}$

Wie kann ich in diesem Fall dann auf das korrekte Ergebnis schließen?

Quadrate, und damit auch vierte Potenzen reeller Zahlen sind immer $\begin{align*} \geq 0 \end{align*}$ , das gilt dann auch für die Summe solcher Zahlen. Also ist $\begin{align*} f(x,y)=x^4+y^4\geq 0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} (x,y) \end{align*}$ , speziell auch in jeder Umgebung von $\begin{align*} (0,0) \end{align*}$ . Da dort zudem $\begin{align*} f(0,0)=0 \end{align*}$ gilt, ist dieser Punkt $\begin{align*} (0,0) \end{align*}$ gemäß Definition eine lokale (und hier auch zugleich globale) Minimumstelle.

Mit anderer Begründung kann man schließen, dass $\begin{align*} g(x,y)=x^4-y^4 \end{align*}$ an der Stelle $\begin{align*} (0,0) \end{align*}$ einen Sattelpunkt hat.

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