La-Place-Transformierte Funktionserkennung

16.08.2016, 15:47	Cl3audia	Auf diesen Beitrag antworten »
La-Place-Transformierte Funktionserkennung Meine Frage: Guten Tag, wie der Titel verrät beschäftige ich mich mit der La-Place-Transformation. Bis zu einem gewissen Punkt verstehe ich diese auch obwohl der ganze Sinn dahinter noch nicht zu 100% ersichtlich ist. $\begin{eqnarray} \underline{U}(s) = -\frac 12 \cdot \frac{1}{s+1} + \frac{e^{-i \frac{\pi}{4}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{1}{s-i} + \frac{e^{i \frac{\pi}{4}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{1}{s+i} \end{eqnarray}$ nach der Transformation erhalten wir: $\begin{eqnarray} \sigma(t) u(t) = \sigma (t) \left( -\frac 12 \cdot e^{-t} + \frac{1}{2 \sqrt{2}} e^{i(t-\frac{\pi}{4})} + \frac{1}{2 \sqrt{2}} e^{-i(t-\frac{\pi}{4})}\right) \end{eqnarray}$ Und wie kommt man von diesem Ausdruck zu: $\begin{eqnarray} u(t) = -\frac 12 \cdot e^{-t} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left(t- \frac{\pi}{4}\right) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe in den bekannten Tabellen nachgeschaut, die ja überall verbreiten sind im Internet, doch ich verstehe bzw. erkenne einfach nicht wie man aus der Bildfunktion: $\begin{eqnarray} \frac{p}{p^2 + a^2} \end{eqnarray}$ auf die Orginalfunktion $\begin{eqnarray} \cos (a t) \end{eqnarray}$ schließt? Daran knabbere ich schon seit einem halben Jahr und komme an der Stelle nie weiter. Ich wäre sehr sehr dankbar wenn mir eine Person diesen Schritt erklären könnte. Vielen Dank, Claudia
16.08.2016, 15:51	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: La-Place-Transformierte Funktionserkennung Es gilt ja $\begin{align} e^{i \cdot x} = \cos x + i \cdot \sin x \end{align}$ und $\begin{align} e^{-i \cdot x} = \cos x - i \cdot \sin x \end{align}$ Nun addiere mal beide Gleichungen. Viele Grüße Steffen
16.08.2016, 16:27	Cl3audia	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: La-Place-Transformierte Funktionserkennung Oh ja tatsächlich, Hut ab Bei dem letzten Aufgabenteil sollte ich jetzt noch asymptotischen Verlauf von $\begin{eqnarray} u(t) \end{eqnarray}$ für große $\begin{eqnarray} t \geq 0 \end{eqnarray}$ D.h. für $\begin{eqnarray} t \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ geht der e-Fkt Term gegen Null und es bleibt: nur der Cosinusterm. [attach]42480[/attach] Das wäre ja der blaue Verlauf. Aber wieso ist jetzt das $\begin{eqnarray} u(t) \end{eqnarray}$ der schwarze Verlauf? Recht herzlichen Dank, Claudia
16.08.2016, 16:43	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: La-Place-Transformierte Funktionserkennung Der schwarze Verlauf berücksichtigt den additiven Exponentialterm, der zwar schnell klein wird, zu Beginn bei t=0 aber mit -0,5 die Kurve nach unten in den Ursprung zwingt. Aber schon beim nächsten Nulldurchgang hat er nicht mehr viel zu sagen.
16.08.2016, 17:18	Cl3audia	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: La-Place-Transformierte Funktionserkennung Hallo Steffen, okay aber dann wäre es ja eher 0.2? Denn der e-Fkt-Term geht dann gegen -0.5 und der Kosinusterm gegen $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ was in der Summe ungefähr 0.2 entspricht? Also $\begin{eqnarray} -0.5 +\frac{1}{\sqrt{2}} = 0.2 \end{eqnarray}$ Oder sehe ich das falsch? Claudia
16.08.2016, 18:02	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: La-Place-Transformierte Funktionserkennung Nein, bei t=0 hat der Cosinusterm den Wert 0,5. Rechne es ruhig nach. Hier sind die beiden Funktionen zu sehen: Und auch hier wieder: einfach addieren.
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »