Komplexe Zahlen in algebraischer Form

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Unkel06 Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen in algebraischer Form
Hallo,

Nachdem mir hier gestern schon nett geholfen wurde...

Mir fehlt zu folgender Aufgabe das "wie geht das"

(1+i)^10 soll im algebraischer Form dargestellt werden

Wie? Z=a+bi ist klar, aber das wars
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahlen in algebraischer Form
In Polarform bringen geht im Kopf, oder? Dann Betrag hoch zehn und Winkel mal zehn. Geht hier auch im Kopf, genauso wie das anschließende Umformen auf kartesisch.

Viele Grüße
Steffen
 
 
Unkel06 Auf diesen Beitrag antworten »

Das muss alles im Kopf gehen Big Laugh Taschenrechner sind nicht erlaubt

Verstehe das aber ehrlich gesagt nicht, werde aus dem Skript nicht schlau
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Als erstes musst Du den Zeiger von 1+i, der ja auf halb zwei steht, "sehen". Welchen Winkel hat er also? Und welche Länge?
Unkel06 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin jetzt komplett raus... Welcher Zeiger?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Jede komplexe Zahl kann als ein Zeiger in der komplexen Ebene dargestellt werden, der im Ursprung beginnt und dessen Spitze die Koordinaten von Real- und Imaginärteil hat. Der hat dann eine Länge, die dem Betrag der Zahl entspricht, und einen Winkel, eben den Winkel der Zahl.

Die Zahl 1 hat zum Beispiel die Länge 1 und den Winkel 0°, die Zahl 2i hat die Länge 2 und den Winkel 90°.

"Siehst" Du jetzt den Zeiger für 1+i?
Unkel06 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich. Erstehe was du meinst, Gaussche Zahlenebene und Rückführung auf Pytahgoras und co

Aber von"sehen" kann keine Rede sein
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Versuch's trotzdem! Mal Dir Real- und Imaginärachse auf einen Zettel. Mach einen dicken Punkt bei . Verbinde diesen Punkt mit dem Nullpunkt. Das ist Dein Zeiger.

Siehst Du Länge und Winkel?

Tu das zur Übung ruhig mit ein paar anderen Zahlen, z.B. oder .
Unkel06 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich getan, aber da auch auf der imaginären/y Achse ja mit dem i keine konkrete Zahl Aufträgen kann könnte ich keinen bestimmten Winkel nennen,... Der Betrag ließe sich aus dem Pythagoras herleiten oder nicht?
Unkl06 Auf diesen Beitrag antworten »

Also der Betrag wäre ja definitiv 1 im aktuellen Beispiel, aber der Winkel? Keime Ahnung
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Unkel06
da auch auf der imaginären/y Achse ja mit dem i keine konkrete Zahl Aufträgen kann


Ich kann nicht ganz folgen. Auf der Imaginärachse wird der (reelle) Imaginärteil der jeweiligen komplexen Zahl abgetragen. Sie wird also genau wie die Realteil-Achse mit 0;1;2... bemaßt.

Wie lautet denn der Imaginärteil von 1+i?
Unkel06 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich trage doch quasi dem Punkt 1;1 ins Koordinatensystem auf

Die resultierende Länge daraus muss, mit Rückführung auf den Pythagoras, 1sein.

Aber ich hab keine Ahnung was ich mit der Zehnerpotenz anstelle oder wie ich da einen Winkel rauslesen soll, zumal wir Winkel meist im Bogenmass behandeln
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Unkel06
Ich trage doch quasi dem Punkt 1;1 ins Koordinatensystem auf


Genau! Hast Du das mal gemacht? Hast Du auch schon die Verbindung zu (0|0) mit einem dicken roten Stift gezogen? Siehst Du, dass dieser Zeiger die Diagonale eines Quadrates mit Kantenlänge Eins darstellt? (Mal Dir dieses Quadrat zur Not dazu.)

Wie lang ist die Diagonale in einem Quadrat? Welchen Winkel hat sie?

(Natürlich: Du kannst das alles auch mit Pythagoras und Arcustangens machen. Aber es spart sehr viel Zeit, wenn solche Sachen sitzen, glaub mir.)
Unkel06 Auf diesen Beitrag antworten »

alles gemacht und nachgemalt

Der Betrag, also die Diagonale wäre doch Wurzel aus 2? ( welche nicht 1 ist, mea culpa)

Den Winkel ablesen, echt keine Ahnung
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Unkel06
Der Betrag, also die Diagonale wäre doch Wurzel aus 2?


Bingo!

Zitat:
Original von Unkel06
Den Winkel ablesen, echt keine Ahnung


Nach rechts sind's 0°, nach oben sind's 90°. Die Diagonale ist doch vom Winkel her so dazwischen, findest Du nicht? Augenzwinkern
unkel06 Auf diesen Beitrag antworten »

Also 45 grad

Dann hab ich als trigonometrische/Polarformdarstellung

Wie behandle ich dann die Zehnerpotenz?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bereits erwähnt: Betrag hoch zehn, Winkel mal zehn.
Unkel06 Auf diesen Beitrag antworten »

Und das soll im Kopf gehen? Mal abgesehen davon warum ich nicht nachvollziehen kann warum man den Winkel mal 10 nimmt?

Gibt's keinen direkteren weg um auf die algebraische Form zu kommen? Jedesmal Skozze machen und mit Bertrag und Pythagoras rumhantieren wird zeitaufwändig
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Unkel06
Und das soll im Kopf gehen?


Klar, Chef!
Und zehnmal 45° kriegst Du hin, oder?

Zitat:
Original von Unkel06
Mal abgesehen davon warum ich nicht nachvollziehen kann warum man den Winkel mal 10 nimmt?


Das ist Potenzrechnung: Wird auch im [WS] Komplexe Zahlen erklärt.

Zitat:
Original von Unkel06
Jedesmal Skozze machen und mit Bertrag und Pythagoras rumhantieren wird zeitaufwändig


Die Skizze sollst Du ja im Kopf haben, das meinte ich mit "sehen". Du wirst bald keine Probleme haben, den Winkel 225° bei der Zahl -1-i zu sehen. Oder den Betrag 5 bei der Zahl 3-4i. Das kommt, glaub mir.

Typischerweise sind solche "Kopfaufgaben" eben auch nur mit solch einfachen Zahlen. So fies sind die Professoren dann auch nicht. Aber das hier verlangen sie.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Unkel06
Gibt's keinen direkteren weg um auf die algebraische Form zu kommen?

Du kannst auch via Potenzgesetz , das auch für beliebige komplexe Zahlen sowie beliebige ganze Zahlen gilt, folgendermaßen vorgehen:

.

Aber das ist mehr so ein Weg nach dem Motto "ich weiß bereits, in welche Richtung der Hase läuft", und damit weniger geeignet für Leute, die eher am Anfang stehen. Und außerdem ist das schon sehr speziell zugeschnitten auf die "günstige Lage" der Basis . Augenzwinkern

Der Weg von Steffen ist auf jeden Fall der lehrreichere, was das Verständnis zur Berechnung allgemeiner Potenzen komplexer Zahlen betrifft.
Unkel Auf diesen Beitrag antworten »

Dann Versuch ich mich mal an den nächsten Aufgaben

Hast du irgendein Tool mit dem ich mich kontrollieren kann?

Ich bekomme für diese Aufgabe z=32*cos(450)+32isin(450)

Was sich sicherlich nochmal vereinfachen lässt
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Unkel
Hast du irgendein Tool mit dem ich mich kontrollieren kann?


Wolfram.com wird oft genannt, das kenne ich aber nicht so. Zur Not geht auch Excel.

Zitat:
Original von Unkel
Ich bekomme für diese Aufgabe z=32*cos(450)+32isin(450)


Wenn Du Winkel im Gradmaß angibst, schreib auch Grad dazu, sonst kann es zu bösen Verwirrungen bei Mathematikern und Taschenrechnern kommen.

Ansonsten bedenke, was Kästner so schön geschrieben hat:

Zitat:

Es tickt die Zeit. Das Jahr dreht sich im Kreise.
Und werden kann nur, was schon immer war.
Geduld, mein Herz. Im Kreise geht die Reise.
Und dem Dezember folgt der Januar.


Und den 360° folgen 0°. Jetzt?
Unkel06 Auf diesen Beitrag antworten »

Die nachfolgende Aufgabe,



Stellt mich Winkeltechnisch schon wieder bloß... Die Länge Habe ich mit Wurzel 2 Raus, also amEnde 8, den Winkel im Rechteck welches sich bildet erkenn ich aber schon wieder nicht LOL Hammer
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dieses Verhältnis hatte ich auch schon weiter oben erwähnt.

Denk ans gleichseitige Dreieck.

Und bei der Länge würde ich auch noch mal nachdenken.
Unkel06 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu deiner Antwort auf die erste Aufgabe

Der Cousins wird null, der Sinus 1, dementsprechend 32i als Endergebnis

Zur 2.aufgabe

Summe der Winkel 180 Grad, einer liegt mit 90 fest, das aber heißt ja nicht automatisch das sich ein Winkel von (hier) -45 Grad ergeben würde, oder?
Unkel06 Auf diesen Beitrag antworten »

DerBetrag ist natürlich Wurzel 4 und dementsprechend nur 64 Big Laugh

Sorry, steht aber so auch auf meinem Blatt
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Unkel06
Der Cousins wird null, der Sinus 1, dementsprechend 32i als Endergebnis


Ja. Aber auch hier noch mal: vergiss cos und sin. Der Winkel 450°-360°=90° zeigt Dir sofort, wo Du hinschauen musst.

Zitat:
Original von Unkel06
Zur 2.aufgabe


Der Zeiger ist hier eine Seite eines gleichseitigen Dreiecks mit Kantenlänge 2 und damit entsprechender Höhe. Denk bei am besten reflexartig gleich an ein Dreieck, so wie Du bei an ein Quadrat denken solltest. Schwierigere Sachen kommen normalweise bei so Aufgaben nicht vor.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Unkel06

Das ist eine rein reelle Potenz. Ich nehme an, du meinst hier eher . Augenzwinkern
Unkel06 Auf diesen Beitrag antworten »

Hal9000 hat natürlich recht

Was erkenn ich denn bei den 450-360? Ich bi normalerweise, weil wir nur damit arbeiten, das Bogenmass gewohnt und da hab ich werte wo ich reflexartig weiß die sind 0 oder 1, je nach Sinus oder Casinos


Und Wurzel 3 also immer an ein Dreieck denken, was hilft mir das beim Winkel? Wurzel 2 ist dann immer 45?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Unkel06
Was erkenn ich denn bei den 450-360?


Ich erkenn da 90. Und das ist "nach oben", "12 Uhr", "senkrecht hoch". Also die positive Imaginärachse.

Zitat:
Original von Unkel06
Ich bi normalerweise, weil wir nur damit arbeiten, das Bogenmass gewohnt


Oh, das hätten wir natürlich auch machen können. Da hättest Du halt reflexartig den Winkel sehen müssen. Und erkennen, dass dasselbe ist wie .

Ich predige zwar auch immer, dass man am besten das Gradmaß abschaffen sollte. Dann ertappe ich mich aber auch immer wieder dabei, damit schneller umgehen zu können als mit den hässlichen -Termen.

Zitat:
Original von Unkel06
Und Wurzel 3 also immer an ein Dreieck denken, was hilft mir das beim Winkel?


Hast Du das gleichseitige Dreieck, das ich meine, denn mal reingezeichnet? Welchen Winkel gibt's denn da?

Zitat:
Original von Unkel06
Wurzel 2 ist dann immer 45?


Zumindest sollte man dran denken. Wenn Real- und Imaginärteil vom Betrag her gleich sind, bilden sie zwei Seiten eines Quadrats. Und dann ist der Zeiger die Diagonale, also das -Fache davon, in welche Richtung auch immer. Also nicht nur 45°, sondern alle Winkelhalbierenden.
Unkel06 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab für den Winkel der 2 Aufgabe nun 60 grad bzw Pi/3 raus, allerdings mit Taschenrechner und über die Winkelfunktionem , der in der Klausur tabu ist und bei den Übungen eigentlich auch... Daher stellt sich mir die Frage wie ich diesen Winkel anhand meiner Skizze, also dem Dreieck mit imaginärteil - Wurzel 3 und dem Realteil 1 und der Zeigerlönge 2 erkennen soll
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steffen Bühler
Hast Du das gleichseitige Dreieck, das ich meine, denn mal reingezeichnet?
Unkel06 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe so eingezeichnet wie ich es grad beschrieben hatte, wie sonst?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann sollte das ungefähr so aussehen:



Die grüne Linie ist der Zeiger mit Länge 2 und dem Endpunkt . Dessen Winkel brauchen wir.

Und jetzt kennst Du doch die Innenwinkel eines gleichseitigen Dreiecks auswendig, oder?
Unkel06 Auf diesen Beitrag antworten »

Eben jene 60 grad

Allerdings ist mir nicht ganz klar wie sich da ein gleichschenkliges Dreieckergibt. Ich arbeite dich prinzipiell in der Zahlenebene nur "unten rechts" die grüne Linie habe ich so eingezeichnet, dadurch entsteht ein rechtwinkliges Dreieck


Die rote hingegen kann ich nicht nachvollziehen, die blaue auch nicht.... Ist das eine Hilfskonstruktion oder wo kommen die her?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte halt die ganze Zeit dieses gleichseitige Dreieck, nicht nur die eine Seite davon.

Ja, das ist in der Tat eine Hilfskonstruktion, so wie das Quadrat, das Du in der anderen Aufgabe "sehen" musst. Und dann muss man im Kopf haben, dass die Höhe (das ist hier ja der Imaginärteil!) eines gleichseitigen Dreiecks das -Fache der Kantenlänge ist.

PS: Vielleicht ist Wikipedia hier hilfreich.
unkel06 Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt ich muss ein Auge auf mögliche Dreieckskonstruktionen haben mit dieser Methode? Dann mach ich das mal

Komme auf z=64 in dieser Aufgabe, der Cosinis ergibt 1, der Sinus wird 0

Bei der aufgab (-1+i)^5

Ergibt sich wieder ein Quadrat?
Hier komme ich auf 4 Wurzel 2 als algebraischenLösung

Betrag ist Wurzel 2 hoch 5, der Winkel wäre 5*pi/4 wodurch der Sinus 0 und der Cosinis 1 wird?

Sorry schreibe mittlerweile vom Handy, daher kein Latex
Unkel06 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Winkel ist 60 grad, meine angab von grad ist schon mit dem exponenten multipliziert und gekürzt sorry
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von unkel06
Das heißt ich muss ein Auge auf mögliche Dreieckskonstruktionen haben mit dieser Methode?


Richtig. Bei versteckt sich gern irgendwo ein gleichseitiges Dreieck, bei ein Quadrat. Fünf- und Sechsecke kommen manchmal auch vor, aber eher selten.

Zitat:
Original von unkel06
Bei der aufgab (-1+i)^5

Ergibt sich wieder ein Quadrat?


Richtig. Diesmal im zweiten Quadranten. Und daher ist

Zitat:
Original von unkel06
Betrag ist Wurzel 2 hoch 5


zwar richtig, aber

Zitat:
Original von unkel06
der Winkel wäre 5*pi/4


falsch. Denn der Ursprungswinkel ist hier eben nicht , sondern...
Unkel06 Auf diesen Beitrag antworten »

45 grad
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