Grenze eines Dreifachintegrals in Kugelkoordinaten

17.08.2016, 12:34

SoundlessPain

Grenze eines Dreifachintegrals in Kugelkoordinaten

Meine Frage:
Hallo, ich habe ein Problem bei der Grenzenbestimmung folgender Darstellung:

1 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ x^2+y^2+z^2 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 4
x^2+y^2+(z+2)^2 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 5

Nun soll ich die Grenzen des Dreifachintegrals mit Kugelkoordinaten bestimmen. Die Figur sieht aus wie ein Hundenapf und so konnte ich r und phi bereits ermitteln.

r $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [1,2] und phi $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [0,2pi]

Ich weiß hier nur einfach nicht, wie ich auf theta kommen soll...

Danke im Vorraus!

Meine Ideen:
r $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [1,2] und phi $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [0,2pi]
Figur: Hundenapf

Ich weiß, dass ich eigentlich umstellen kann.
Nur in dem Fall leider nicht wie.

17.08.2016, 12:56

HAL 9000

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Ich nehme erstmal an, du willst das Volumen berechnen (falls doch ein anderer Integrand als 1, dann bitte anpassen). Du kannst die zweite Bedingung $\begin{align*} x^2+y^2+(z+2)^2\leq 5 \end{align*}$ ja zunächst als Indikatorfunktion in den Integranden packen:

$\begin{align*} V = \iiint\limits_G f(x,y,z) 1 ~ \dd(x,y,z) = \iiint\limits_{1\leq x^2+y^2+z^2\leq 4} 1_{\{x^2+y^2+(z+2)^2\leq 5\}} ~ \dd(x,y,z) = \int\limits_{r=1}^2 \int\limits_{\varphi=0}^{2\pi} \int\limits_{\theta=0}^{\pi} 1_{\{r^2\sin^2(\theta)+(r\cos(\theta)+2)^2\leq 5\}}\cdot r^2\sin(\theta) ~ \dd\theta ~ \dd\varphi ~ \dd r = 2\pi \int\limits_{r=1}^2 \int\limits_{\theta=0}^{\pi} 1_{\{r^2+4r\cos(\theta)\leq 1\}}\cdot r^2\sin(\theta) ~ \dd\theta ~ \dd r \end{align*}$

Die in der Indikatorfunktion angeführte Bedingung kann man nun nach $\begin{align*} \theta \end{align*}$ umstellen, und so das Integrationsintervall $\begin{align*} [0,\pi] \end{align*}$ entsprechend einengen.

17.08.2016, 13:09

SoundlessPain

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Gibt es auch eine Möglichkeit, die Grenzen ohne das Integral zu finden?
Ich fürchte, dass ich dafür in der Klausur zu wenig Zeit habe.

17.08.2016, 15:30

HAL 9000

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Ich hab's so geschrieben weil ich dachte, du willst das Integral berechnen. Kannst du dir denn aus der Zeile nicht selbst die benötigte Information extrahieren? Nun gut:

Bedingung $\begin{align*} x^2+y^2+(z+2)^2\leq 5 \end{align*}$ lautet in Kugelkoordinaten geschrieben und dann umgeformt

$\begin{align*} r^2\sin^2(\theta)+(r\cos(\theta)+2)^2&\leq 5\\ r^2\sin^2(\theta)+r^2\cos^2(\theta)+4r\cos(\theta)+4&\leq 5\\ r^2+4r\cos(\theta)&\leq 1\\ \cos(\theta)&\leq \frac{1-r^2}{4r}\\ \theta &\geq \arccos\left(\frac{1-r^2}{4r}\right) \end{align*}$ ,

letzteres da die Kosinusfunktion im hier interessierenden Intervall $\begin{align*} [0,\pi] \end{align*}$ streng monoton fallend ist.

Der Winkelbereich wird also nach außen zu immer schmaler:

Bei $\begin{align*} r=1 \end{align*}$ gilt noch $\begin{align*} \pi\geq \theta \geq \arccos(0)=\frac{\pi}{2} \approx 1.5708 \end{align*}$ .

Und am Ende bei $\begin{align*} r=2 \end{align*}$ gilt dann $\begin{align*} \pi\geq \theta \geq \arccos\left(-\frac{3}{8}\right) \approx 1.9552 \end{align*}$ .

Zum Schluß noch ein Bild des Hundenapfs, in der vergoldeten Version: Big Laugh

[attach]42483[/attach]

19.08.2016, 09:34

SoundlessPain

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Oh wunderbar, jetzt hab ich's verstanden. Big Laugh

Dankeschön. smile

Wo ist dieser hübsche Napf denn her?

19.08.2016, 09:48

HAL 9000

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Mit dem Ray-Tracer POV-Ray. Die Entwicklung des Programms ist zwar weitgehend eingeschlafen, es liefert aber immer noch hübsche Bildchen.

19.08.2016, 21:28

SoundlessPain

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Vielleicht werd ich das dann noch mal testen.
Dankeschön. smile

20.08.2016, 00:50

HAL 9000

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Noch der POVray-Code zum Bild oben:

code:

1:
2:
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4:
5:
6:
7:
8:
9:
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11:
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18:
19:
20:
21:
22:
23:
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25:
26:
27:
28:
29:

global_settings { assumed_gamma 2.2 }

#include "colors.inc"
#include "metals.inc"

plane { y, -3 texture { pigment { Silver } } }

intersection
{
    difference
    {
        sphere { <0,0,0>, 2 }
        sphere { <0,0,0>, 1 }
    }
    sphere { <0,-2,0>, sqrt(5) }
    texture { T_Gold_2B }
}    

camera
{
    right x*image_width/image_height
    location <4,1.5,-2>
    look_at <0,-1,0>
}

light_source {<10,4,-3> White}
light_source {<10,10,3> White}

sky_sphere { pigment {color MidnightBlue}}

Die Figur versteckt sich natürlich in dem Block intersection {...}, der Rest ist technischer Krimskrams (Bodenebene, Beleuchtung, Kamera).

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