Inhomogene DGL 1. Ordnung - Wärme

18.08.2016, 17:45

Seoman

Inhomogene DGL 1. Ordnung - Wärme

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich versuche seit geraumer Zeit eine inhomogene DGL 1.Ordnung zu lösen. Allerdings komme ich nie auf ein physikalisch sinnvolles Ergebnis, und ich vermute es hängt irgendwo bei der Mathematik.
Betrachtet wird ein Festkörper (z.B. ein ohmscher Leiter; ein Stück Kupfer). In dessen System wird eine konstante Verlustleistung erzeugt (z.B. 20 W). Angenommen wird eine homogene Temperaturverteilung (also keine Wärmeleitung innerhalb des Körpers). Die Wärme wird nur mittels Konvektion abgeführt. Die Frage ist wie der Temperaturverlauf über die Zeit ausschaut. Dieses möchte ich in Excel mit der gelösten DGL veranschaulichen.

Ansatz (mit Q als Wärmeleistung nicht Energie):
$\begin{eqnarray*} Q = Q_{Verlustleistung} - |Q_{Konvektion}| \end{eqnarray*}$

mit
$\begin{eqnarray*} Q = m \times c_{p} \times dT/dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |Q_{Konvektion}| = h_{c} \times A \times (T - T_{amb}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Q_{Verlustleistung} = konstant \end{eqnarray*}$

Umstellen zur Normalform:
$\begin{eqnarray*} dT/dt + (h_{c} \times A) / (m \times c_{p}) \times T = Q_{Verlustleistung}/(m \times c_{p}) - (h_{c} \times A)/(m \times c_{p}) \end{eqnarray*}$

Alle Konstanten vereinfachen:
$\begin{eqnarray*} dT/dt + a \times T = b \end{eqnarray*}$

AWP:
$\begin{eqnarray*} T (t = 0) = T_{amb} \end{eqnarray*}$

Meine Lösung zur Zeit ist:
$\begin{eqnarray*} T(t) = (2 \times T_{amb} - Q/(h_{c} \times A)) \times exp (-a \times t) \end{eqnarray*}$

Diese ist aber ganz offensichtlich falsch.
1. Erwarte ich eher eine exp(1-at) Lösung
2. Das Q positiv auf die Umgebungstemperatur (Tamb) wirkt und
3. Das Tamb nicht x2 genommen wird.

Kann mir jemand bei der richtigen Lösung helfen?

Vielen Dank svhon mal im voraus!

Meine Ideen:
Ansatz (mit Q als Wärmeleistung nicht Energie):
$\begin{eqnarray*} Q = Q_{Verlustleistung} - |Q_{Konvektion}| \end{eqnarray*}$

mit
$\begin{eqnarray*} Q = m \times c_{p} \times dT/dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |Q_{Konvektion}| = h_{c} \times A \times (T - T_{amb}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Q_{Verlustleistung} = konstant \end{eqnarray*}$

Umstellen zur Normalform:
$\begin{eqnarray*} dT/dt + (h_{c} \times A) / (m \times c_{p}) \times T = Q_{Verlustleistung}/(m \times c_{p}) - (h_{c} \times A)/(m \times c_{p}) \end{eqnarray*}$

Alle Konstanten vereinfachen:
$\begin{eqnarray*} dT/dt + a \times T = b \end{eqnarray*}$

AWP:
$\begin{eqnarray*} T (t = 0) = T_{amb} \end{eqnarray*}$

Meine Lösung zur Zeit ist:
$\begin{eqnarray*} T(t) = (2 \times T_{amb} - Q/(h_{c} \times A)) \times exp (-a \times t) \end{eqnarray*}$

Diese ist aber ganz offensichtlich falsch.
1. Erwarte ich eher eine exp(1-at) Lösung
2. Das Q positiv auf die Umgebungstemperatur (Tamb) wirkt und
3. Das Tamb nicht x2 genommen wird.

Kann mir jemand bei der richtigen Lösung helfen?

Vielen Dank schon mal im voraus!

19.08.2016, 08:47

klarsoweit

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RE: Inhomogene DGL 1. Ordnung - Wärme
Zunächst: mir ist nicht klar, warum du unter "Meine Ideen" nochmal den gleichen Text postest und wofür die Abkürzung "amb" steht.

Nun zur eigentlichen Frage:
Hier würde es das Verständnis erleichtern, wenn du zu dieser DGL:

Zitat:

Original von Seoman
Alle Konstanten vereinfachen:
$\begin{eqnarray*} dT/dt + a \times T = b \end{eqnarray*}$

erst mal die allgemeine Lösung angibst. Ich kann nämlich nicht den nächsten Schritt zu dieser Lösung:

Zitat:

Original von Seoman
Meine Lösung zur Zeit ist:
$\begin{eqnarray*} T(t) = (2 \times T_{amb} - Q/(h_{c} \times A)) \times exp (-a \times t) \end{eqnarray*}$

nachvollziehen. Bei meiner Rechnung erhalte ich ein anderes Ergebnis.

19.08.2016, 19:29

Seoman123

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Hi,

danke für die Hilfe.
Das mit dem Doppelpost war ein versehen. Ich hatte alles ins erste Feld geschrieben, musste dann aber auch noch was ins "meine Idee"-Feld schreiben. Habe das dann kopiert statt auszuschneiden, und dann vergessen zu löschen smile

Nachträglich bearbeiten kann ich auch nicht, da ich nicht registriert bin... Bin auch gerade im Urlaub, und schreibe daher mit dem Tablet - was es noch mal komplizierter und aufwendiger macht.

Zu den Variablen (sorry, vergessen zu definieren):

$\begin{eqnarray*} T_{amb} = \end{eqnarray*}$ Umgebungstemperatur des Fluids
$\begin{eqnarray*} h_{c} = \end{eqnarray*}$ Wärmeübergangskoeffizient
$\begin{eqnarray*} m = \end{eqnarray*}$ Masse des Festkörpers
$\begin{eqnarray*} A = \end{eqnarray*}$ Wärmeaustauschfläche zwischen Festkörper und Umgebung
$\begin{eqnarray*} c_{p} = \end{eqnarray*}$ Wärmekapazität des Festkörpers
$\begin{eqnarray*} T = \end{eqnarray*}$ Temperatur des Festkörpers

Nun zur allgemeinen Lösung der DGL:
Homogene Lösung:
$\begin{eqnarray*} T_{h} = C \times exp(a \times t) \end{eqnarray*}$

Allgemeine Lösung (durch Variation der Konstanten):
$\begin{eqnarray*} T = ((b \times exp(a \times t) / a) + c) \times exp(-a \times t) \end{eqnarray*}$

EDIT(Helferlein): Latex "repariert". Umlaute sind problematisch, daher am besten nur ausserhalb der Klammer verwenden.

19.08.2016, 21:27

Seoman123

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Achso, danke dir! smile

20.08.2016, 12:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von Seoman123
Nun zur allgemeinen Lösung der DGL:
Homogene Lösung:
$\begin{eqnarray*} T_{h} = C \times exp(a \times t) \end{eqnarray*}$

Korrekt ist: $\begin{eqnarray*} T_h = C \cdot e^{-a \cdot t} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Seoman123
Allgemeine Lösung (durch Variation der Konstanten):
$\begin{eqnarray*} T = ((b \times exp(a \times t) / a) + c) \times exp(-a \times t) \end{eqnarray*}$

Das läßt sich auch bequemer so ausdrücken: $\begin{eqnarray*} T = \frac b a + C \cdot e^{-a \cdot t} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

21.08.2016, 15:59

Seoman123

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Stimmt

hab den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr gesehen... Aber nichtsdestotrotz ist die allgemeine Lösung richtig? Habe nun auch eine andere spezielle Lösung raus. Habe diese aber gerade nicht zur Hand (trage ich nachher nach). Allerdings ist die auch physikalisch falsch.

Noch mal grundsätzliche Fragen:
Ich erwarte eigentlich einen exponentiellen Anstieg zu der Temperatur $\begin{eqnarray*} Q/(h_{c} \times A) \end{eqnarray*}$ . Dementsprechend muss der e-Verlauf doch folgende Form haben? $\begin{eqnarray*} exp(1-at) \end{eqnarray*}$ Davon ist die Lösung aber meilenweit entfernt. Allen voran, da eine homogene Lösung immer mit $\begin{eqnarray*} exp(at) \end{eqnarray*}$ gelöst wird. Wo ist da der Denkfehler?

P.S. stimmt mit dem Minus der homogenen Lösung. Tippfehler meinerseits

22.08.2016, 08:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von Seoman123
Aber nichtsdestotrotz ist die allgemeine Lösung richtig?

Ja, sonst hätte ich darauf explizit hingewiesen. smile

Zitat:

Original von Seoman123
Ich erwarte eigentlich einen exponentiellen Anstieg zu der Temperatur $\begin{eqnarray*} Q/(h_{c} \times A) \end{eqnarray*}$ . Dementsprechend muss der e-Verlauf doch folgende Form haben? $\begin{eqnarray*} exp(1-at) \end{eqnarray*}$

Prinzipiell hat doch die Lösung diese Form, wenn man mal weiter umformt:

$\begin{eqnarray*} T = \frac b a + C \cdot e^{-a \cdot t} = \frac b a + e^{ln(C) - a \cdot t} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

EDIT: diese Umformung funktioniert natürlich nur für C > 0.

28.08.2016, 14:13

Seoman123

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Hallo klarsoweit,

ich bin wieder am arbeiten, und da bleibt sowas leider hinten liegen. Also entschuldige die späte Antwort. Und danke für den Hinweis.
Ich dacht die ganze Woche über, dass ich es damit lösen könne. Aber nach gut 2h in der Sonne und lauter ln-rechenregeln komme ich trotzdem nicht weiter... verwirrt

vielleicht sollte ich mal aus der Sonne raus Augenzwinkern

Aber kannst du mir vielleicht noch einen Hinweis geben?
Das einzige was ich mit dem neuen Ansatz schaffe, ist mein $\begin{eqnarray*} b/a \end{eqnarray*}$ umzuformen. Aber an dem exp-Gebilde tut sich bei mir nichts...

29.08.2016, 15:41

klarsoweit

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Um was geht es im Moment noch? Um die Gleichheit von $\begin{eqnarray*} C \cdot e^{-a \cdot t} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{ln(C) - a \cdot t} \end{eqnarray*}$ ?

Falls ja, siehe hier: $\begin{eqnarray*} e^{ln(C) - a \cdot t} = e^{ln(C)} \cdot e^{-a \cdot t} = C \cdot e^{-a \cdot t} \end{eqnarray*}$ smile

29.08.2016, 19:36

Seoman123

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Hi,

die Herleitung habe ich noch verstanden. smile

Das Problem was ich habe, ist das ich eine DGL-Lösung in der Form
$\begin{eqnarray*} y = k \times exp (1-at) \end{eqnarray*}$
erwarte (wie ein PT1-Glied). Also das sich der Festkörper nach einer gewissen Zeit bei einer bestimmten Temperatur einpendelt (also wenn sich Konvektion und Verlustleistung im Gleichgewicht befinden).

Aber meine DGL-Lösung hat ja die Form
$\begin{eqnarray*} y = k \times exp (at) \end{eqnarray*}$ .
Und fällt daher exponentiell vom Anfangswert $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ab.

Wie komme ich auf die $\begin{eqnarray*} y = k \times exp(1-at) \end{eqnarray*}$ Form?

29.08.2016, 21:07

Hausmann

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Hallo!

Ohne die mathematischen Betrachtungen stören zu wollen: Man muß bei solchen Vorgängen mit einer stärkeren Erwärmung rechnen und das macht die linearen Ansätze und die Beschränkung auf Konvektion leider zunichte. mfG!

30.08.2016, 08:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von Seoman123
Aber meine DGL-Lösung hat ja die Form
$\begin{eqnarray*} y = k \times exp (at) \end{eqnarray*}$ .
Und fällt daher exponentiell vom Anfangswert $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ab.

Ich dachte, wir waren schon so weit, daß die allgemeine Lösung diese Form hat:

$\begin{eqnarray*} T = \frac b a + C \cdot e^{-a \cdot t} \end{eqnarray*}$

Der Anfangswert ist also $\begin{eqnarray*} T_0 = \frac b a + C \end{eqnarray*}$ . Der Grenzwert ist b/a und es hängt vom Vorzeichen von C ab, ob du einen Temperaturanstieg oder -abfall hast.

30.08.2016, 09:36

Ehos

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@Seoman123
Durch die Vielzahl deiner Symbole und die Unklarheit deiner Fragestellung ist es schwer, dir zu antworten. Außerdem wurde dir schon das Wesentliche durch @klarsoweit gesagt. Deine Aufgabe ist eine einfache Anwendung des Newtonschen Abkühlungsgesetzes (Siehe WIKIPEDIA).

Symbole:

$\begin{eqnarray*} T=\text{Körpertemperatur} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_u=\text{Umgebungstemperatur} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_k=\text{Temperatur-Summand infolge von Konvektion} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a=\text{Proportionalitätskonstante, welche von Körpereigenschaften abhängt} \end{eqnarray*}$

Das Newtonsche Abkühlungsgesetz besagt folgendes: Die Abkühlung eines Körpers ist proportional zur Differenz aus Körpertemperatur und Umgebungstemperatur, also

$\begin{eqnarray*} \tfrac{dT}{dt}=a\cdot (T_u-T) \end{eqnarray*}$

Wenn durch Konvektion zusätzlich Wärmeenergie ab- oder zugeführt wird, dann kommt auf der rechten Seite noch ein Summand $\begin{eqnarray*} T_k \end{eqnarray*}$ hinzu, der positiv oder negativ sein kann, also

$\begin{eqnarray*} \tfrac{dT}{dt}=a\cdot (T_u+T_k-T) \end{eqnarray*}$

Das ist eine lineare, inhomogene Dgl. mit konstanten Koeffizienten, die man auf folgende Form bringen kann

$\begin{eqnarray*} \tfrac{dT}{dt}+a\cdot T=\underbrace{a\cdot (T_u+T_k)}_{\text{Inhomogenität}} \end{eqnarray*}$

Wenn wir die Anfangstemperatur bei t=0 mit $\begin{eqnarray*} T_0 \end{eqnarray*}$ bezeichnen, so lautet die Lösung offenbar

$\begin{eqnarray*} T(t)=(T_0-T_u-T_k)\cdot e^{-at}+T_u+T_k \end{eqnarray*}$

Wenn die Anfangstemperatur mit der Umgebungstemperatur übereinstimmt, also $\begin{eqnarray*} T_u=T_k \end{eqnarray*}$ , so vereinfacht sich die Lösung zu

$\begin{eqnarray*} T(t)=T_k\cdot (1-e^{-at})+T_u \end{eqnarray*}$

In beiden Fällen pegelt sich die Körpertemperatur nach sehr langer Zeit $\begin{eqnarray*} t\rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ auf die Temperatur $\begin{eqnarray*} T=T_u+T_k \end{eqnarray*}$ ein. Wenn es keine Kovektion gibt, also $\begin{eqnarray*} T_k=0 \end{eqnarray*}$ , dann bekommt der Körper nach langer Zeit $\begin{eqnarray*} t\rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ die Umgebungstemperatur $\begin{eqnarray*} T_u \end{eqnarray*}$ , wie man es von einer Tasse Kaffee erwarte, die im Büro abkühlt.

30.08.2016, 19:42

Seoman123

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Hallo zusammen,

erstmal vielen Dank @klarsoweit. Habe es gerade mal geplottet, und es funktioniert smile

Das mit dem Vorzeichen hatte ich ganz übersehen, also mich auf die (1-at) Form versteift..

@Hausmann, sehe ich nicht so. Für viele technische Abschätzungen reicht die Konvektion vollkommen. Ich weiß zwar nicht, was du mit einer stärkeren Erwärmung meinst, aber nicht lineare Ansätze wie Strahlung oder komplizierte Wärmeverteilung sind meistens vernachlässigbar. Kannst du aber gerne noch mal ausführen smile

@ehos, danke für den langen post und die (etwas arrogante Augenzwinkern

) Antwort. Das Ab7ühlungsgesetz ist mir hinreichend bekannt. Ich kenne den Ansatz und die 9ösung, ich kann das Ganze hier geschriebene auch mit Simulink oder irgendwelchen CFD Programmen simulieren. Mir geht es hier aber um die "handschriftliche" Lösung. Und zwar nicht in der einfachen Form des Ab7ühlungsgesetzes, sondern mit dem Zusatz, das ich eine (erstmal konstante) Wärmequelle (durch z.B. elektrische Verlustleistung) in dem Fest7örper habe. Und eben keine zusätzliche Temperatur.

Bei bekannten Parametern, möchte ich nun den Temperaturverlauf in Excel "schnell" überschlagen ( was deutlich schneller geht als mit oben genannten Programmen). Werds am Wochenende mal probieren..

Gruß

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