Wahrscheinlichkeitsrechnung - n Versuche, jedes von drei Ereignissen |
| 19.08.2016, 14:45 | Mathenull22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Wahrscheinlichkeitsrechnung - n Versuche, jedes von drei Ereignissen Ich komme bei folgender Aufgabe leider auf keinen Ansatz. Es wird gleichzeitig mit einem roten und einem grünen Würfel gewürfelt. Nun werden 3 Ereignisse definiert (die Wahrscheinlichkeiten dafür hab ich bereits ermittelt und gebe sie in Klammer an: E1: Beide Würfel zeigen eine ungerade Augenzahl (P=1/4) E2: Die Augensumme ist 5 (P=1/9) E3: Der rote Würfel zeigt eine 6 (P=1/6) Nun der Aufgabenteil, an dem ich nicht weiter komme: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach 50 Mal würfeln jedes der drei Ereignisse mindestens einmal vorgekommen ist? Meine Ideen: Ein einzelnes Ereignis mind. 1 Mal wäre kein Problem mit der Gegenwahrscheinlichkeit, aber hier soll ja jedes der drei Ereignisse mind 1 Mal vorkommen und da hätte ich auch für das Gegenereignis keinen Ansatz. Was ich mir noch dazu überlegt habe ist, dass die drei Ereignisse vermutlich bewusst so gewählt wurden, dass sie einander ausschließen. Aber viel hilft mir das im Moment auch nicht weiter. Hat jemand von euch eine Idee dazu? Besten Dank im Voraus Mathenull |
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| 19.08.2016, 15:39 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Für Schulmathematik schon ein ganz ordentlich komplexer Sachverhalt, da braucht es etwas Übersicht: Wir definieren die drei Ereignisse : Ereignis kommt in keinem der 50 Würfe vor. (k=1,2,3) Gesucht ist dann die Wahrscheinlichkeit von , es folgt mit Siebformel Nun zur Berechnung der einzelnen da auftauchenden Wahrscheinlichkeiten: usw. Letzten Endes kommt damit dann heraus. Die Berechnung wird dadurch erleichtert, dass paarweise disjunkt sind (was bei bereits genutzt wurde). |
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| 19.08.2016, 17:19 | Math-Nul-22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Herzlichen Dank für deine rasche Antwort! An dem, was du Siebformel nennst war ich auch schon dran, also quasi die Wahrscheinlichkeit vom Gegenereignis bilden indem man alle Möglichkeiten, dass mind. ein Ereignis bei 50 Würfen nicht auftritt einzeln betrachtet und die Doppelten wieder wegrechnet. Ich hab die Idee damals verworfen, weil mir schnell klar wurde, dass das Verfahren bei mehr als drei Ereignissen schnell ausufert und ich dachte, es müsste doch einen kompakteren Ansatz geben. Danke jedenfalls für deine Hilfe. Werds jetzt in Ruhe nochmals selbst nachvollziehen/nachrechnen (aber nicht weil ich deiner Rechnung misstraue) Nur aus Interesse: Wie würde man bei mehr als drei Ereignissen vorgehen? Sagen wir es sind 20 Ereignisse, die jeweils einander ausschließen, jedes mit einer anderen Wahrscheinlichkeit. Das Siebformel-Verfahren ist dann ja kaum mehr vernünftig handhabbar. Oder doch? Gibts dafür vielleicht doch noch ein allgemeineres Verfahren? Oder eine Formel mit Summen- und/oder Produktzeichen oder irgend sowas? Besten Dank MatheNull EDIT: Etwas irritiert mich noch. Wenn ich 50 durch 2 ersetze, dann muss doch Wahrscheinlichkeit 0 rauskommen. Bei deinem Ansatz aber nicht!?? Willkommen im Matheboard! Du bist hier mit zwei Accounts angemeldet, der User Mathenull22 wird daher demnächst gelöscht. Viele Grüße Steffen EDIT: Ja, da ist was mit der Mailadresse schief gegangen und daher konnte ich unter dem Nick nicht antworten. Und ich konnte den Account unter dem gleichen Loginnamen nicht mehr neu erstellen, da er ja in der DB schon existierte. |
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| 19.08.2016, 17:43 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Siebformel gibt es auch für mehr als drei Ereignisse. Einfach mal nachschlagen (Wiki etc.)
Wenn sie sich einander ausschließen, brauchst du die Siebformel nicht - da kannst du den einfachen Additionssatz nehmen: Wahrscheinlichkeit der Vereinigung ist gleich Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten. 
Kommt es auch - rechne nochmal nach.
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| 19.08.2016, 18:09 | Math-Nul-22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
-> Die Siebformel gibt es auch für mehr als drei Ereignisse. Einfach mal nachschlagen (Wiki etc.) Ja, hatte ich schon getan. Die kann man sich ja auch selbst zusammenklauben. Aber die schöne kompakte Schreibweise mit dem großen Vereinigungszeichen täuscht letztlich doch nur darüber hinweg, dass man für eine konkrete Berechnung eine Vielzahl von unterschiedlichsten Einzeldurchschnittswahrscheinlichkeiten berechnen muss und das wird extrem unüberscihtlich und fehleranfällig. Oder hab ich was übersehen? Wenn die einzelnen Wahrscheinlichkeiten der E_i gleich wären, könnte man ja noch eine einigermaßen vernünftig handhabbare Summenformel mit Binomialkoeffizienten aufstellen, aber so...? Ich wüsste jetzt, auch wenn ich das in ein Computerprogramm gießen würde, in das einfach die Einzelwahrscheinlichkeiten der Ereignisse E_i und die Anzahl der Versuche eingegeben werden, nicht, wie ich dieses Siebverfahren vernünftig programmieren sollte. Darum eben die Frage nach einem "kompakteren" Ansatz (nicht von der Schreibweise her, sondern was die konkrete Berechnung anlangt). -> Wenn sie sich einander ausschließen, brauchst du die Siebformel nicht Doch! Ich meinte die Ereignisse E_i. Die sind ja auch in meinem Beispiel schon einander ausschließend. Die von dir konstruierten A_i sind das natürlich leider nicht. -> Kommt es auch - rechne nochmal nach. Augenzwinkern Ooops! In der Tat! Auch für Anzahl 0 und 1 stellt sich P=0 ein. Faszinierend. Als Funktion über R nimmt sie zwischen 1 und 2 negative Werte an und strebt dann, wie es sich gehört, recht flott asymptotisch gegen 1. Nochmals danke für deine Hilfe und wenn es für mehrere E_i eine kompaktere oder leichter programmierbare Variante gibt, bin ich für Infos weiterhin empfänglich. Math-Nul-22 |
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| 19.08.2016, 18:22 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja und, was erwartest du? Formeln kleinkindgerecht aufgeschrieben?
Ein bisschen Mühe musst du dir schon geben. Außerdem kann man die Formel doch auch verbal schön beschreiben: Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Einzelereignisse - Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Zweierschnitte + Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Dreierschnitte - ... + ...
Das reicht ja auch nicht. Offensichtlich hast du das ganze nicht richtig verstanden: Du brauchst auch die Wahrscheinlichkeiten aller Zweierschnitte, Dreierschnitte usw. und die ergeben sich i.a. nicht direkt aus den Einzelwahrscheinlichkeiten, sondern aus der inhaltlichen Bedeutung der beteiligten Ereignisse. Es gibt lediglich Sonderfälle, wo das klappt - aber dort ist die Siebformel dann auch weitgehend uninteressant, weil es einfacher geht: (a) Disjunktheit (s.o.), da kannst du aber auch einfach nehmen. (b) Unabhängigkeit, da kannst du auch einfacher nehmen.
Es geht hier aber doch um die , daher ist dein "Doch!" einfach nur eine höchst überflüssige Anmerkung - sowas lass mal lieber stecken. 
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| 19.08.2016, 19:51 | Math-Nul-22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
--> Ja und, was erwartest du? Formeln kleinkindgerecht aufgeschrieben? Eine eher entbehrliche Anmerkung, oder? Ich denke, dass ich deutlich geschrieben hatte, dass es um die konkrete Berechnung bei deutlich mehr Ereignissen als 3, ich hatte exemplarisch die Zahl 20 (da gibts schon über eine Million Schnittwahrscheinlichkeiten zu summieren) genannt, geht. Es gibt ja zB in der abzählenden Kombinatorik durchaus verschiedene Wege, etwas zu zählen und man kommt dann auch auf unterschiedlich komplexe Formeln für die gleiche Gschichte. zB die Anzahl aller möglichen n-stelligen Binärzahlen (inkl. führender Nullen). Das kann ich entweder als Summe von Kombinationen ohne Whg sehen, oder viel simpler als Variation mit Wiederholung. Und wenn ich durch ersetzen kann, würde ich das nicht als "kleinkindgerechte" Schreibweise bezeichnen sondern als vernünfgtige, kompakte Variante, eine Berechnung durchzuführen. Die Frage war also danach, ob dir auch im gegenständlichen Fall ein einfacherer Berechnungsweg geläufig ist. Offenbar nicht und vielleicht gibts auch keinen. --> Ein bisschen Mühe musst du dir schon geben. Außerdem kann man die Formel doch auch verbal schön beschreiben: Mit ist schon klar, was die Poincaré-Sylvester Formel besagt und welchen Aufwand sie verlangt. Die schöne Verbalbeschreibung oder kompakte Schreibweise hilft aber wenig bei der konkreten Berechnung. Bei 20 Ereignissen E_i hätten wir immerhin schon 2^20 -1 Summanden zu berechnen und addieren. Nur darum ging es. --> Das reicht ja auch nicht. Offensichtlich hast du das ganze nicht richtig verstanden: Warum glaubst du das? Natürlich ist mir klar, dass ich eine Unmenge von Schnittwahrscheinlichkeiten benötige. Darum gings ja dann auch im Anschluss an deine erste Antwort - ob du eine Möglichkeit siehst, den Rechenaufwand auf ein vernünftiges Maß zu reduzieren. --> Es geht hier aber doch um die Ai, daher ist dein "Doch!" einfach nur eine höchst überflüssige Anmerkung - sowas lass mal lieber stecken. unglücklich Schade, dass dich das unglücklich macht, aber ich denke, dass ich dir mit meinem "Doch" letztlich keine Grund geliefert hatte, pikiert oder beleidigt zu reagieren. In letzter Konsequenz geht es doch immer um die Grundaufgabe, bei der man die Wahrscheinlichkeit einer Anzahl von Ereignissen E_i und die Anzahl von durchzuführenden Versuchen kennt. Und da sind diese Ereignisse paarweise disjunkt. Ein Umstand, der, wie du selbst in deiner Antwort geschrieben hast, die Rechnung wenigsten ein kleinwenig vereinfacht, da ja sonst auch noch die entsprechenden Schnittwahrscheinlichkeiten der E_i bekannt sein und verwendet werden müssten. Ich habe daher in meiner "Aufgabenerweiterung" / Zusatzfrage diese paarweise Disjunktheit der E_i weiterhin vorausgesetzt, habe aber nur von Ereignissen geschrieben und nicht davon, welche ich meine. Das hatte ich dann nach meinem bösen(?) "Doch" doch klar richtig gestellt, oder? Ich kann da beim besten Willen nichts erkennen, das ich "mal lieber stecken lassen" sollte. Ich nehme jedenfalls mit, dass die ursprüngliche Aufgabe doch einigen Aufwand erfordert, ich auf dem richtigen Weg war und mich durch die Komplexität (und die Hoffnung auf einen bequemeren Weg) habe abschrecken lassen. Außerdem nehme ich mit, dass für deutlich mehr als 3 Ereignisse E_i die Aufgabe realistischerweise nicht mit vernünftigen Aufwand zu lösen ist. Programmieren ließe sich das Ganze, doch obwohl eine Aufgabe wie die, alle Kombinationen ohne Whg von k Elementen aus den n Elementen einer Menge konkret zu bilden (wie es hier für die Durchschnittswkten nötig ist) eine klassische ist, so ist sie doch nicht trivial. Ich bedanke mich jedenfalls für die geleistete Hilfe und Mühe Math-Nul-22 |
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| 19.08.2016, 20:38 | Math-Nul-22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich kann es leider nicht mehr editieren, aber das in obiger Antwort ist natürlich Unsinn und sollte ein sein. Sehe ich das richtig, dass es hier nicht üblich/nötig/möglich ist, einen Diskussionsfaden abzuschließen, eine Antwort als "hilfreich" oder als "die Richtige" zu markieren, etc. Wenns nichts mehr zu sagen gibt, verlässt man den Thread einfach, ja? Math-Nul-22 |
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| 19.08.2016, 21:28 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nachdem du es jetzt deutlicher erklärt hast, ist mir klar, dass du mit den 20 Ereignissen die , nicht die meinst - ich war oben bei deiner Anfrage klar von letzterem ausgegangen, da wir unmittelbar vorher von der Siebformel gesprochen haben und ich daher von diesen Ereignissen ausgegangen war. Also das nächste mal bitte deutlicher, was du wie erweitert betrachtet haben willst, dann kommt es auch nicht zu solchen Missverständnissen. Die Berechnungsformel bei disjunkten Ereignissen und -facher Wiederholung dieser Einzelversuche ist dann schlicht Die Summation über alle Teilmengen umfasst dann natürlich Summanden. Und sie kann bei großen nicht nur ziemlich rechenaufwändig, sondern erfahrungsgemäß numerisch äußerst instabil werden. Daher ist Vorsicht anratsam, diese Formel mit numerisch nicht ausreichend genauen Datentypen anzugehen: Spätestens, wenn das numerische Endresultat dann kleiner 0 oder größer 1 ausfällt weiß man, dass dieser Fehler zugeschlagen hat.
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| 19.08.2016, 23:11 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, eine Markierung ist nicht vorgesehen, aber es ist bestimmt nett, sich abschließend bei den Helfern zu bedanken, wenn die Antworten für dich ausreichend sind. Ein "Danke, es hat mir geholfen" .., ".. habe ich verstanden" o.ä. genügt schon. Ein Feedback ist einfach eine Regel der Höflichkeit. mY+ |
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| 19.08.2016, 23:38 | Math-Nul-22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke für diese Ergänzung. Die Herausforderung (was die Programmierung anlangt) ist natürlich die so harmlos aussehende Bestimmung aller Indexmengen . Da drängt sich ja eigentlich eine Rekursion auf, aber ein iterativer Ansatz wäre sicher solider. Und wenn I die leere Menge ist, dann muss die letzte Wahrscheinlichkeits"summe" (über kein Ereignis) 0 ergeben damit sich der für die Komplementärwahrscheinlichkeit nötige Summand +1 ergibt. Clever! Mal sehen, ob ich Zeit finde, das umzusetzen. Was die Kumulation der Rundungsfehler anlangt, hast du sicher Recht. Die Rechenzeit sollte etwa für n=20 mit 1 Million+ Summanden (auch wenn jeder wieder eine eigene Summenberechnung erfordert) nicht das größte Problem sein. Und dann wär noch eine konkrete, sinnvolle Anwendung für die Berechnung nett, damit man nicht das Gefühl hat, sich mit etwas völlig Sinnlosem beschäftigt zu haben ;-) Besten Dank nochmals! MatheNull @mYthos: --> Ein Feedback ist einfach eine Regel der Höflichkeit. Danke, aber das versteht sich von selbst. Es gibt aber viele Foren, in denen erwartet wird, einen Thread formal abzuschließen, als "beantwortet" zu markieren, irgendwelche Gutpunkte oder andere Bewertungen für gute Hilfe zu verteilen, die passendste Antwort als solche zu markieren, damit jene, die zu einem späteren Zeitpunkt im Archiv suchen schneller zur passenden Antwort geleitet werden, etc. Da ich hier noch nicht den Überblick habe, hab ich zur Sicherheit gefragt, obs da irgend sowas gibt, das ich vielleicht bloß noch nicht entdeckt habe. Offenbar hab ich nichts übersehen. |
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| 20.08.2016, 00:09 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich hab da nochmal drüber nachgedacht, bei n=20 geht das wohl noch. Oben hatte ich da unwillkürlich an den Sonderfall gedacht, wenn alle gleich sind. Dann vereinfacht sich die Formel ja zu . Und diese Formel kann man ja durchaus auch für größere n betrachten, z.B. . Und dort wird die Numerik wirklig haarig.
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| 20.08.2016, 00:55 | Math-Nul-22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
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Ja, vor allem, wenn man bedenkt, dass die Aufgabe nur für m>=n wirklich Sinn macht und m der Exponent einer Reihe von Potenzen ist, deren Basis kleiner als 1 ist. Das allein sorgt schon für unkontrollierbaren Spaß beim Ergebnis. P.S.: Wie fügt man bei einem Zitat dieses "Original von ..." automatisch ein? Oder muss man das selbst eintippen? Ah, entdeckt! Funktioniert, wenn man anstelle von "Antworten" "Zitat" wählt. |
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