Extrema mit Nebenbedingungen

20.08.2016, 11:48

Gast200816

Extrema mit Nebenbedingungen

Meine Frage:
Hallo Zusammen!

Es ist folgende Aufgabe gegeben:

a) Man berechne die isolierten lokalen Extrema von $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R ^2\Rightarrow \mathbb R ,(x,y)\Rightarrow -2x^2-3y^2+\pi \end{eqnarray*}$
b)Man berechne die Extrema von obigem f unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} x^4+3y^2=1 \end{eqnarray*}$
Bei a) habe ich keine Probleme, bei b) taucht ein Problem auf.

Meine Ideen:
b) Ich habe den Lagrangemultiplikator benutzt und erhalte:

$\begin{eqnarray*} L(x,y,\lambda )=f(x,y)-\lambda *g(x,y)=-2x^2-3y^2+\pi-\lambda *x^4+3y^2-1 \end{eqnarray*}$

Ich erhalte dann folgende partielle Ableitungen:

nach x: $\begin{eqnarray*} -4x-4\lambda x^3 \end{eqnarray*}$
nach y: $\begin{eqnarray*} -6y-6\lambda y \end{eqnarray*}$
nach $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} -x^4-3y^2+1 \end{eqnarray*}$

Und damit dann:

I $\begin{eqnarray*} -4x-4\lambda x^3 = 0 \end{eqnarray*}$
II $\begin{eqnarray*} -6y-6\lambda y = 0 \end{eqnarray*}$
III $\begin{eqnarray*} -x^4-3y^2+1 = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun nach $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ umstelle, folgt:
aus I $\begin{eqnarray*} \lambda = -1/x^2 \end{eqnarray*}$
aus II $\begin{eqnarray*} \lambda = -1 \end{eqnarray*}$

Wie kann ich jetzt weiter vorgehen, ich habe mein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ja quasi schon bestimmt. Eigentlich müsste ich aber doch x und y in die Nebenbedingung einsetzen? y hat sich aber aufgelöst. Was kann ich tun?

20.08.2016, 12:36

Helferlein

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War Lagrange vorgeschrieben? Ansonsten könntest Du die Nebenbedingung nutzen, um das y aus der Zielfunktion zu eliminieren.
Zu deiner Rechnung: Wieso kannst Du x=0 ausschließen? Am Ende müssen deine lambdas übereinstimmen, was Du zur Berechnung der Punkte nutzen kannst.

20.08.2016, 16:18

Gast200816

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Lagrange war nicht vorgeschrieben, hatte es so versucht.

Wie kann ich die Nebenbedingung denn für das Eliminieren benutzen?

Wo habe ich denn x=0 ausgeschlossen?

20.08.2016, 17:05

Helferlein

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Du hast doch in der Nebenbedingung und in der Zielfunktion $\begin{align*} 3y^2 \end{align*}$ stehen. Da sollte sich mit dem Einsetzungsverfahren was machen lassen Augenzwinkern

Dir ist nicht bewußt, dass $\begin{align*} \lambda=-\frac 1{x^2} \end{align*}$ nur für $\begin{align*} x \neq 0 \end{align*}$ gültig ist?

20.08.2016, 17:22

Gast200816

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Achso, das ist mir natürlich bewusst.

Nun habe ich das y in der Zielfunktion eliminiert. Und nun bestimme ich davon die Ableitung und somit auch die Nullstellen, richtig? Also, ich habe kein y mehr und somit ist dann:

$\begin{eqnarray*} f'\begin{pmatrix} 3x^3-6x \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit ist mein kritischer Punkt (0/0).

Wie stelle ich denn nun die Hessematrix auf? Stehe etwas auf dem Schlauch, sorry!

20.08.2016, 17:24

Gast200816

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Zitat:

Original von Gast200816
Achso, das ist mir natürlich bewusst.

Nun habe ich das y in der Zielfunktion eliminiert. Und nun bestimme ich davon die Ableitung und somit auch die Nullstellen, richtig? Also, ich habe kein y mehr und somit ist dann:

$\begin{eqnarray*} f'\begin{pmatrix} 3x^3-6x \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit ist mein kritischer Punkt (0/0).

Wie stelle ich denn nun die Hessematrix auf? Stehe etwas auf dem Schlauch, sorry!

Sollte natürlich heißen:

$\begin{eqnarray*} f'\begin{pmatrix} 4x^3-6x \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

20.08.2016, 19:57

Helferlein

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Das f hat nach der Elimination dort nichts mehr verloren, denn Du betrachtest ja eine andere Funktion, nämlich $\begin{align*} g(x)=-2x^2-(1-x^4)+\pi \end{align*}$ .

Diese hat an denselben x-Werten ein Extrem wie f unter der Nebenbedingung. Allerdings ist f immer noch im zweidimensionalen definiert. Du musst am Ende also den erhaltenen x-Werten ihre y-Werte über die Nebenbedingung zuordnen.

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