Stetigkeit Epsilon-Delta-Kriterium Abschätzen

21.08.2016, 01:18

matilamatila

Stetigkeit Epsilon-Delta-Kriterium Abschätzen

Meine Frage:
Sorry, irgendwie klappt das nicht mit der Darstellung. Ich kopiere nochmal alles rein und lade zusätzlich ein Bild hoch.

Meine Frage:
Hallo, ich verzweifle etwas bei der Nachweisbarkeit der Stetigkeit.
Ich habe zum Einen total vergessen, wie man beim Epsilon-Delta-Kriterium abschätzen musste und es ist schwierig darüber im Internet Informationen zu bekommen. Ich habe hier eine Beispielaufgabe ohne Lösung:

Es sei g: R²->R gegeben durch $\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} \frac {\left|{x}_{1} \right| +{x}_{ 2 }^{ 2 }+\left| { x }_{ 2 } \right| }{ \left| { x }_{ 1 } \right| +\left| { x }_{ 2 } \right| } ,\quad \vec{x} \neq \vec{0} \\ ~1\qquad \qquad , \quad \vec{x} =\vec{0} \quad \end{cases} \end{eqnarray*}$

Ich soll untersuchen obF stetig in x=0 ist.

Meine Ideen:

Ich dachte anfangs an das Delta-Epsilon-Kriterium oder an einen Grenzwert-Beweis.
Beim Delta-Epsilon-Kriterium fängt es allerdings schon beim Auflösen der Beträge an.

$\begin{eqnarray*} \left| f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })-f(0,0) \right| = \frac { \left| { x }_{ 1 } \right| +{ x }_{ 2 }^{ 2 }+\left| { x }_{ 2 } \right| }{ \left| { x }_{ 1 } \right| +\left| { x }_{ 2 } \right| } = \end{eqnarray*}$

hier muss doch jetzt die erste Bedingung kommen um die Betragsstriche aufzulösen oder ? Wie muss ich weiter vorgehen? $\begin{eqnarray*} { x }_{ 1 } > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} { x }_{ 2 } > 0 \end{eqnarray*}$ ?

und dann der nächste Problempunkt:
Nach dem Auflösen der Betragtsstriche muss ich nach oben Abschätzen indem ich den Nenner verkleinere. Dafür muss ich auch eine Bedingung eingeben. Als vorschlag hätte ich eins von den beiden x wegfallen lassen oder wie es der neue Dozent mal geschrieben hat das Max {| x_1 | , | x_2 | }
Im Zähler wüsste ich nicht wie ich vergrößern kann.

EDIT(Helferlein): Latex "repariert"

21.08.2016, 10:01

matilamatila

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Danke liebes Helferlein,
Bin leider noch neu auf dem Gebiet.

21.08.2016, 10:15

Huggy

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RE: Stetigkeit Epsilon-Delta-Kriterium Abschätzen

Zitat:

Original von matilamatila
Ich dachte anfangs an das Delta-Epsilon-Kriterium oder an einen Grenzwert-Beweis.

Völlig in Ordnung.

Zitat:

Beim Delta-Epsilon-Kriterium fängt es allerdings schon beim Auflösen der Beträge an.

Die sind hier gar nicht störend.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \left| f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })-f(0,0) \right| = \frac { \left| { x }_{ 1 } \right| +{ x }_{ 2 }^{ 2 }+\left| { x }_{ 2 } \right| }{ \left| { x }_{ 1 } \right| +\left| { x }_{ 2 } \right| } = \end{eqnarray*}$

Da fehlt aber $\begin{eqnarray*} -f(0,0) \end{eqnarray*}$ nach dem Gleichheitszeichen. Korrekt ist:

$\begin{eqnarray*} |f(x_1, x_2)-f(0,0)| = \left |\frac {|x_1| +x_2^2+|x_2|}{|x_1| +|x_2|}-1\right | =\left |\frac {x_2^2}{|x_1| +|x_2|}\right |=\frac {x_2^2}{|x_1| +|x_2|} \end{eqnarray*}$

Wenn man jetzt noch beachtet

$\begin{eqnarray*} |x_1| +|x_2|\geq |x_2| \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \frac {x_2^2}{|x_1| +|x_2|}\leq \frac {x_2^2}{|x_2|}=|x_2| \end{eqnarray*}$

ist die Bestimmung von

$\begin{eqnarray*} \lim_{\vec x \to 0} |f(x_1, x_2)-f(0,0)| \end{eqnarray*}$

trivial.

21.08.2016, 18:24

matilamatila

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$\begin{eqnarray*} |f(x_1, x_2)-f(0,0)| = \left |\frac {|x_1| +x_2^2+|x_2|}{|x_1| +|x_2|}-1\right | =\left |\frac {x_2^2}{|x_1| +|x_2|}\right |=\frac {x_2^2}{|x_1| +|x_2|} \end{eqnarray*}$

Muss da nicht statt statt -1 -> -0 hin?

Wieso kann ich denn die Betragsstriche ignorieren?

verschwinden x_1 und X_2 im Zähler weil vergrößert wurde?

Und wieso entsteht die Bedingung, dass x_1 + X_2 >= x_2 sind?

Lieben Gruß und vielen Dank für die Antwort smile

21.08.2016, 19:02

Huggy

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Zitat:

Original von matilamatila
Muss da nicht statt statt -1 -> -0 hin?

Es ist doch laut Aufgabe $\begin{eqnarray*} f(0,0)=1 \end{eqnarray*}$ !

Zitat:

Wieso kann ich denn die Betragsstriche ignorieren?

Meinst du hier?

$\begin{eqnarray*} \left |\frac {x_2^2}{|x_1| +|x_2|}\right |=\frac {x_2^2}{|x_1| +|x_2|} \end{eqnarray*}$

Da stehen doch im Zähler und Nenner nur nicht negative Terme. Also kann man die äußeren Betragsstriche weglassen.

Zitat:

verschwinden x_1 und X_2 im Zähler weil vergrößert wurde?

Die Bemerkung verstehe ich nicht. Ich habe den Nenner durch weglassen von $\begin{eqnarray*} |x_1| \end{eqnarray*}$ verkleinert, wodurch der Bruch insgesamt größer wird.

Zitat:

Und wieso entsteht die Bedingung, dass x_1 + X_2 >= x_2 sind?

Wenn du noch die Betragsstriche hinzufügst, ist das doch offensichlich.

21.08.2016, 20:10

matilamatila

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Okay ich verstehe, die Bedingung $\begin{eqnarray*} |x_1| +|x_2|\geq |x_2| \end{eqnarray*}$ gilt also für die verkleinerung, richtig?

Wird dann aus der Bedingung X_1<=0 ,wenn ich x_2 auf die andere Seite subtrahiere?

Am Ende fehlt der Rechnung fehlt dann nur noch | X_2 | < Epsilon und der Satz:

f ist stetig in (0,0), denn für alle Epsilon>0 .......gilt.......=Min{0,Epsilon}......
Ist das Minimum so richtig angegeben?

Sorry ich möchte nur die Formalitäten auch richtig schreiben.

Lieben Gruß

22.08.2016, 08:39

Huggy

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Zitat:

Original von matilamatila
Okay ich verstehe, die Bedingung $\begin{eqnarray*} |x_1| +|x_2|\geq |x_2| \end{eqnarray*}$ gilt also für die verkleinerung, richtig?

Das ist keine Bedingung, sondern eine allgemeingültige Aussage. ich habe sie lediglich benutzt, um den Nenner zu verkleinern, genauer gesagt nicht zu vergrößern.

Zitat:

Wird dann aus der Bedingung X_1<=0 ,wenn ich x_2 auf die andere Seite subtrahiere?

Weshalb lässt du wieder die Betragsstriche weg? Und nein, das ist doppelter Unfug. Wenn man $\begin{eqnarray*} |x_2| \end{eqnarray*}$ subtrahiert, steht doch da $\begin{eqnarray*} |x_1| \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Die Logik ist aber genau anders herum. Weil definitionsgemäß gilt $\begin{eqnarray*} |x_1| \geq 0 \end{eqnarray*}$ , gilt $\begin{eqnarray*} |x_1| +|x_2|\geq |x_2| \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Am Ende fehlt der Rechnung fehlt dann nur noch | X_2 | < Epsilon und der Satz:

f ist stetig in (0,0), denn für alle Epsilon>0 .......gilt.......=Min{0,Epsilon}......
Ist das Minimum so richtig angegeben?

Was soll das Minimum da? Schreib diesen Teil doch mal vollständig auf. Dann sieht man, ob er richtig ist oder nicht. Das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ , das zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ existieren muss, kann man bei deiner Aufgabe konkret angeben.

Zitat:

Sorry ich möchte nur die Formalitäten auch richtig schreiben.

Wichtiger wäre es, dass du die Sache erst mal inhaltlich richtig verstehst. Da habe ich noch Zweifel. Mit dem formal richtig aufschreiben, wird das eh nichts, wenn du dauernd die Betragsstriche weglässt, wo sie nicht weggelassen werden dürfen.

22.08.2016, 18:28

matilamatila

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Zitat:

Original von Huggy
Weshalb lässt du wieder die Betragsstriche weg?

sorry mein PC hat Probleme mit dem Formeleditor.

Zitat:

Und nein, das ist doppelter Unfug. Wenn man $\begin{eqnarray*} |x_2| \end{eqnarray*}$ subtrahiert, steht doch da $\begin{eqnarray*} |x_1| \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Die Logik ist aber genau anders herum. Weil definitionsgemäß gilt $\begin{eqnarray*} |x_1| \geq 0 \end{eqnarray*}$ , gilt $\begin{eqnarray*} |x_1| +|x_2|\geq |x_2| \end{eqnarray*}$ .

Ich hatte hier gedacht es soll eine Bedingung sein, weil unser Prof beim Vergrößern immer eine Bedingung hinschreibt die später am Ende in dem Satz mit den anderen Bedingungen (falls vorhanden) zusammengefasst wird.

Zitat:

Den Satz den wir am Ende immer hinschreiben sollen lautet:

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ beliebig fest vorgegeben. Wähle dann f( $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ))=min{...(Hier kommen die Bedingungen rein, $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ }, dann folgt für alle $\begin{eqnarray*} \vec{x} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} | \vec{x} - \vec{x_0} |\leq f(\epsilon,\vec{x_0} ) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} | f(\vec{x})-f(\vec{x_0}) | = ...\leq ...\leq \vec{x_2}\leq\epsilon \end{eqnarray*}$

Ist mein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Ich möchte das ja gerne verstehen. Quäle mich schon lange mit dem Thema.

22.08.2016, 19:56

Huggy

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Zitat:

Original von matilamatila
sorry mein PC hat Probleme mit dem Formeleditor.

Der Betragsstrich ist doch unabhängig vom Formeleditor direkt über die Tastatur zugänglich. Schau mal links unten auf deine Tastatur auf die Taste, die das <-Zeichen und das >-Zeichen enthält.

Ich ignoriere mal deine anderen Anmerkungen. Sie zeugen von tiefem Unverständnis. Eine Definition der Stetigkeit mit dem $\begin{eqnarray*} \epsilon-\delta \end{eqnarray*}$ -Kriterium lautet:

Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(\vec x) \end{eqnarray*}$ ist in einem Punkt $\begin{eqnarray*} \vec x_0 \end{eqnarray*}$ stetig, wenn es zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ gibt, sodass für alle $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |\vec x - \vec x_0|< \delta \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} |f(\vec x)- f(\vec x_0)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ .

Bei deiner Aufgabe ist $\begin{eqnarray*} \vec x_0 =(0,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(\vec x_0)=1 \end{eqnarray*}$ . Obige Definition bedeutet also für deine Funktion $\begin{eqnarray*} f(\vec x) \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} f(\vec x) \end{eqnarray*}$ ist stetig in $\begin{eqnarray*} \vec x_0=(0,0) \end{eqnarray*}$ , wenn es zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ gibt, sodass für alle $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |\vec x - \vec x_0|=|\vec x -(0,0)|=|\vec x|< \delta \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} |f(\vec x)- f(\vec x_0)|=|f(\vec x)-1|<\epsilon \end{eqnarray*}$ .Bei deiner Funktion kann man $\begin{eqnarray*} \delta=\epsilon \end{eqnarray*}$ wählen. Beweis:

Sei $\begin{eqnarray*} |\vec x|=\sqrt {x_1^2+x_2^2}<\delta = \epsilon \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt {x_2^2}=|x_2|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Aus der oben gezeigten Kette

$\begin{eqnarray*} |f(x_1, x_2)-f(0,0)| = \left |\frac {|x_1| +x_2^2+|x_2|}{|x_1| +|x_2|}-1\right | =\left |\frac {x_2^2}{|x_1| +|x_2|}\right |=\frac {x_2^2}{|x_1| +|x_2|}\leq |x_2| \end{eqnarray*}$

folgt dann

$\begin{eqnarray*} |f(x_1, x_2)-f(0,0)|<\epsilon \end{eqnarray*}$

q.e.d.

23.08.2016, 18:37

matilamatila

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okay ich glaube es hat jetzt endlich Klick gemacht. Wow 1000 Dank für deine unendliche Geduld und deinen Helfergeist. Bin sehr dankbar für die Mühe.

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