Kern der Nullmatrix

21.08.2016, 12:34

balance

Kern der Nullmatrix

Hallo,

Ich bin gerade ein wenig verwirrt. Ich wollte eben die Dimension des Kerns der Nullmatrix berechnen - und irgendwie scheitere ich dabei. Also, natürlich krieg ich das korrekte ergebnis und alles - aber ich seh den Grund gerade nicht.

Ich möchte also erstmal über die Bedeutung vom Rang sprechen, und zwar an einem Beispiel:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&2\\2&0&2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mittels eines Gauss-Schritts bekommen wir

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} rang(A)=2 \end{eqnarray*}$ , woraus folgt: $\begin{eqnarray*} dimKern(A)=1, dimBild(A)=2 \end{eqnarray*}$

Das macht man sich folgendermassen klar:

Die gegausste Matrix, entsprich dem GLS: $\begin{eqnarray*} x+z=0, y = 0 \end{eqnarray*}$ [Also hier am beispiel vom Kern]

Wie man sieht, ist $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ , also ist y "fix". Wir sehen aber auch: $\begin{eqnarray*} x=-z \end{eqnarray*}$ , also ist die Lösung nicht eindeutig, sondern eine Variable hängt von der anderen ab. Wir haben also eine Freie Variable, und können z.B. sagen:

$\begin{eqnarray*} kern(A)=\bigg\langle \begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\bigg\rangle \end{eqnarray*}$

Also kann man wohl sagen: Eine Nullzeile entspricht einer freien Variable und die Anzahl an Nullzeilen entspricht der Dimension des Kern.

Frage:
Nun möchte ich den Kern von der Nullmatrix betrachten. Sei also B die 2x2 Nullmatrix. Mir ist klar, dass der Kern die Dimension 2 hat - das folgt aus der Definition.

Einfach zu sehen, wenn man sich eine Nullabbildung anschaut sowie die Definition des Kerns:
$\begin{eqnarray*} g: \mathbb R^2\to\mathbb R^2, v \mapsto 0 \end{eqnarray*}$

Da der gesamte Definitionsraum auf 0 abgebildet wird, ist klar: Der Kern hat Dimension 2.

Nun möchte ich das noch mit dem "LGS-Ansatzt" von oben nachvollziehen - und hier scheitere ich.

Wir haben also die Gleichung: $\begin{eqnarray*} Bv=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also das LGS:
$\begin{eqnarray*} 0\cdot x + 0\cdot y = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\cdot x + 0\cdot y = 0 \end{eqnarray*}$

Normalerweise würde man jetzt sehen, welche Variabeln voneinadner abhängen und welche fix sind. Hier ist aber der Koeffizient 0 - das produziert irgendwie einen Error in meinem Kopf. :p

Kann mir also jemand anhand lösens dieses LGS zeigen, dass der Kern die Dimension 2 hat?

Merci

21.08.2016, 12:39

tatmas

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Hallo,

Zitat:

Mittels eines Gauss-Schritts bekommen wir

den/die würde ich gern mal sehen.

Zitat:

und können z.B. sagen:

hast du mal eine Probe gemacht?

Zur Nullmatrix:
Zwei Nullzeilen, also hast du auch zwei freie Varaiblen.

21.08.2016, 13:44

balance

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Wie gesagt, die Argumentation "Zwei Nullzeilen, also hast du auch zwei freie Varaiblen. " ist genau das was ich gerne anhand eines GLS veranschaulichen möchte.

Wegen der 1 Frage - da ist ein Typo in der Matrix, sry. Ich habs korrigiert.

21.08.2016, 15:14

tatmas

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Das Riesenproblem ist, dass das was du bei deinem Beispiel machst falsch ist.
(auch mit der nachgebesserten Matrix)
Was du sehen würdest wenn du eine Probe machen würdest.

Und freie Variable hast nicht =0.
Das wäre ja eine festgelegte Variable.
Sondern es ist irgendein beliebiger (reeller) Wert.

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