(x-1)^i Basis von R[x]

21.08.2016, 16:36

Zelda

(x-1)^i Basis von R[x]

Meine Frage:
Hey smile

Ich soll beweisen, dass die Familie $\begin{eqnarray*} ((x-1)^i_{(i \in \mathbb{N})}) \end{eqnarray*}$ eine R-Basis des Polynomrings R[x] ist.

Meine Ideen:
Ich hab mir folgende Gedanken gemacht, die mich meinem Ziel aber leider nicht wirklich näher bringen: Eine "Basis" ist ja ein linear unabhängiges Erzeugendensystem und bedeutet in diesem Fall, dass jedes Element in R[x] als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} ((x-1)^i_{(i \in \mathbb{N})}) \end{eqnarray*}$ , also als Summe von "Vielefachen" $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R von $\begin{eqnarray*} ((x-1)^i_{(i \in \mathbb{N})}) \end{eqnarray*}$ , darstellbar ist. Bedeutet das umgekehrt aber nicht, dass $\begin{eqnarray*} (x-1)^i \end{eqnarray*}$ ein Teiler jedes Elements in R[x] sein müsste, und damit verbunden jedes Polynom in R[x] die Nullstelle 1 haben müsste, weil $\begin{eqnarray*} ((x-1)^i \end{eqnarray*}$ ein Teiler von f $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R[x] ist? unglücklich

Auf welchem Wege kann ich beweisen, dass $\begin{eqnarray*} ((x-1)^i_{(i \in \mathbb{N})}) \end{eqnarray*}$ eine Basis von R[x] ist?

21.08.2016, 16:47

tatmas

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Hallo,

Zitat:

Bedeutet das umgekehrt aber nicht, dass $\begin{eqnarray*} (x-1)^i \end{eqnarray*}$ ein Teiler jedes Elements in R[x] sein müsste

Nein. Allein schon weil Teilbarkeit zur Struktur eines Rings gehört (und nicht wirklich sinnvol ist wenn R Nullteiler hat) und es hier um Vektorräume geht.
Und es ist $\begin{eqnarray*} (x-1)^0=1 \end{eqnarray*}$ Teil der Basis.

Die Aussage ist wohl am einfachsten zu beweisen in dem man verwendet, dass
1) $\begin{eqnarray*} (x^i)_{i \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ eine Basis ist.
2) Isomorphismen Basen auf Basen abbilden.

21.08.2016, 19:09

Zelda

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Vielen Dank smile

Aber dann bin ich wieder beim selben Problem, ich muss dann ja zuerst beweisen, dass $\begin{eqnarray*} (x^i)_{(i \in \mathbb{N})} \end{eqnarray*}$ eine Basis von R[x] ist

21.08.2016, 23:21

tatmas

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Nein, das ist ein deutlich einfacheres Problem.
Wie es genau zu beweisen ist hängt von der Defintion von R[x] ab, die ihr verwendet.
Allerdings folgt die Aussage direkt aus dieser Defintion.

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(x-1)^i Basis von R[x]

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