Cesaro Limes bei bestimmer Folge, Binärdarstellung

21.08.2016, 15:39	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Cesaro Limes bei bestimmer Folge, Binärdarstellung Hallo Sei $\begin{eqnarray} B \subseteq \mathbb{N} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1_{B}(n)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade und in Binärdarstellung gerade viele Ziffern} \\ 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade und in Binärdarstellung ungerade viele Ziffern} \\0,& \mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ Meine Frage: Existiert der Cesaro Limes: $\begin{eqnarray} LIM(1_B):=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n 1_{B} (k) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Sei $\begin{eqnarray} A:= 2 \mathbb{N} \end{eqnarray}$ die Menge der geraden Zahlen, so ist $\begin{eqnarray} LIM(1_A)=1/2 \end{eqnarray}$ Die charakteristischen Funktionen von A bzw B beschreiben jeweils eine Folge die aus 0en und 1en besteht, diese bezeichne ich mit $\begin{eqnarray} (a_i)_{i \in \mathbb{N}}, (b_i)_{i \in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ Ist i gerade so folgt $\begin{eqnarray} a_i + a_{i+1}=1+0=1 \end{eqnarray}$ da natürlich i+1 ungerade ist. Ist i gerade so steht ein 0er bei der Binärdarstellung von i ganz hinten rechts also hat i+1 die gleiche Anzahl von Ziffern in der Binärdarstellung wie i. Es folgt: $\begin{eqnarray} b_i + b_{i+1}= \begin{cases} 0+1=1, & \\ 1+0=1, & \end{cases} \end{eqnarray}$ Insgesamt also $\begin{eqnarray} a_i + a_{i+1}= b_i + b_{i+1} \end{eqnarray}$ für i gerade Da $\begin{eqnarray} a_1= 0, b_1=1 \end{eqnarray}$ folgt für N ungerade $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^N b_i =1+ \sum_{i=2}^N a_i \end{eqnarray}$ D.h. $\begin{eqnarray} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N b_i = \frac{1}{N} + \frac{1}{N}\sum_{i=2}^N a_i \rightarrow 1/2 (N\rightarrow \infty) \end{eqnarray}$ Was mache ich aber nun bei N gerade? Denn da kann sich ja die Anzahl der der Ziffern der Binärdarstellung verschieben, wenn ich es analog wie oben machen möchte..?? --------------------------------------------- EDIT: Ich habe einige Tippfehler verbessert und manches zum besseren Verständnis hinzugefügt! LG, MaGi

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