Endliche Körper und irreduzible Polynome |
| 21.08.2016, 21:14 | Checkgradnix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Endliche Körper und irreduzible Polynome Hallo, hab da ne Frage und zwar steh ich bei folgender Folgerung auf dem Schlauch: Aus: Wenn K ein endlicher Körper und n eine natürliche Zahl ist, gibt es nur endlich viele Polynome, deren Grad kleiner oder gleich n ist. Folgt: Wenn K ein Körper mit endlich vielen Elementen ist, gibt es zu jeder natürlichen Zahl n unendlich viele normierte irreduzible Polynome in K[x], deren Grad größer als n ist. Meine Ideen: Ich weiß, dass beispielsweise ein endlicher Körper ist. Was ist dann mit einer natürlichen Zahl n gemeint? Eine Zahl aus {1,2,3,4,5,6} weil es in keine weiteren Zahlen gibt? Und wie soll es zu jeder natürlichen Zahl n unendlich viele irreduzible Polynome vom Grad > n geben, wenn in K[x] alle Polynome vom Grad 1 (< oder = n) irreduzibel sind bzw. Nur solche Polynome, welche nur triviale Teiler haben? Ich verstehe leider überhaupt nicht, wie aus der ersten Behauptung die zweite folgen soll und was die 'endlich vielen Polynome vom Grad kleiner-gleich n' damit zu tun haben. Kann mir diesen Zusammenhang bitte jemand erklären? |
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| 21.08.2016, 23:31 | tatmas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo,
Mit einer natürlichen Zahl n ist eine Zahl n gemeint, die eine natürliche Zahl ist. Das ist mit den Elementen des Körpers mit 7 Elementen nichts zu tun. Die Elemente des Körpers mit Elementen kann man mit Zahlen bezeichnen, das ist aber keine sonderlich gute Idee (und wird auch sehr, sehr selten gemacht), denn die Addition und Multiplikation ist nicht die der natürlichen Zahlen. D.h. im Körper mit 7 Elementen gibt es u.U. überhaupt keine Zahlen. Zeige, dass es in K[x] unendlich viele normierte, irreduzible Polynome gibt. (z.B. analog zu Euklids Beweis zur Existenz unendlich vieler Primzahlen) Mit eurer Aussage folgt daraus die Behauptung. |
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| 21.08.2016, 23:56 | Checkgradnix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dass es unendlich viele normierte irreduzible Polynome in K[x] gibt kann ich beweisen. Also hab ich das richtig verstanden wenn ich sage: da hier von einem endlichen Körper gesprochen wird gibt es nur endlich viele normierte irreduzible Polynome vom Grad kleiner-gleich n. Aber, weil es in K[x] unendlich viele normierte irreduzible Polynome gibt, muss es auch in einem endlichen Körper zu jeder natürlichen Zahl n unendlich viele normierte irreduzible Polynome vom Grad größer n geben, weil es ja unendlich viele normierte irreduzible Polynome in K[x] gibt, unabhängig davon ob K endlich ist oder nicht. |
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| 22.08.2016, 00:04 | tatmas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann bist du ja bereits fertig.
Damit gibt es insbesondere auch nur endlich viele normierte, irreduzible Polynome vom grad kleiner-gleich n. Da es unendlich viele irreduzible, normierte Polynome gibt, und nur endlich viele Defintion Grad kleiner-gleich n haben, haben unendlich viele Grad größer n. |
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