Grenzwert

22.08.2016, 17:09	Agricola	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert Meine Frage: Hey, ich versuche seit langen nun einen Grenzwert zu berechnen: lim n--> unendlich von ( (n(n-1))^(½)-n ). Meine Ideen:* Eigene Ideen hatte ich schon viele, nur leider führen sie alle auf das falsche Ergebnis. Es soll -0,5 herauskommen und ich komme jedoch immer auf 0. Auch WolframAlpha nennt als Lösung die -0,5 kann jedoch keinen Rechenweg anzeigen. Meine größte Hoffnung liegt in der Regel von l'Hospital aber leider bekomme ich keine Umformung so hin, dass ich 0/0 oder eben unendlich/unendlich bekomme und mich dies dann weiterführen würde. Kann mir jemand helfen?
22.08.2016, 17:24	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert Es handelt sich um $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \sqrt{n(n-1)}-n \end{eqnarray}$ Da empfiehlt sich - wie auch gern bei Folgengrenzwerten - die Nutzung der 3. binomischen Formel durch Erweiterung mit $\begin{eqnarray} \sqrt{n(n-1)}+n \end{eqnarray}$
23.08.2016, 09:28	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert Ich finde es am elegantesten hier mit AM-GM-HM zu argumentieren, denn dabei benötigt man kein Stetigkeitsargument. Aus AM-GM-HM erhält man folgende Abschätzung: $\begin{eqnarray} -\frac 12\geq\sqrt{n(n-1)}-n\geq \frac 1{\frac 1n -2} \end{eqnarray}$ durch welche sich die Folge dann geeignet einschließen lässt.
23.08.2016, 09:49	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, du überforderst das Zielpublikum ein wenig, denn es ist für die Laien sicher nicht ohne weiteres erkennbar, auf welche Werte du hier AM-GM-HM anwendest (es sind $\begin{align} n \end{align}$ und $\begin{align} (n-1) \end{align}$ ), auch und vor allem weil du die aus AM-GM-HM entstehende (Doppel-)Ungleichung danach noch weiter umformst, nämlich $\begin{align} n \end{align}$ subtrahierst.

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