Teilersumme gegeben, alle natürlichen Zahlen bestimmen

23.08.2016, 10:48

Astroboy

Teilersumme gegeben, alle natürlichen Zahlen bestimmen

Hey zusammen smile

Folgende Aufgabe ... ich soll alle natürlichen Zahlen bestimmen, die die Teilersumme 30 haben.

Eine Lösung ist trivial, namlich die Primzahl 29. Die Teiler sind 1 und 29 selbst, also ist 1+29=30 die Teilersumme.

Gibt es noch weitere? Wenn ja, wie finde ich die? Wenn nein: Wieso kann es keine mehr geben?

Ich kenne die Formel zur Berechnung der Teilersumme:

$\begin{eqnarray*} \sigma (n)=\frac{p_{1} ^{k_{1} +1}-1 }{p_{1}-1 } * ... * \frac{p_{m} ^{k_{m} +1}-1 }{p_{m}-1 } \end{eqnarray*}$

Weiter weiß ich: 30=2*3*5=2*15=3*10=6*5. Also müssen die einzelnen Faktoren der Formel oben ja die Werte 2, 3, 5, .... annehmen. Wie komme ich aber jetzt auf die zugehörigen Primzahlen und ihre Exponenten? Sofern diese denn überhaupt existieren ...

23.08.2016, 11:04

Elvis

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Berechne die Teilersummen $\begin{eqnarray*} \sigma(1),...,\sigma(28) \end{eqnarray*}$ , dann weißt Du, ob es noch weitere natürliche Zahlen mit $\begin{eqnarray*} \sigma(n)=30 \end{eqnarray*}$ gibt.

23.08.2016, 11:14

tatmas

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Hallo,

da die Teilersumme immer größer oder gleich der n+1 ist genügt es hier schlicht alle natürlichen Zahlen bis 29 durchzugehen.

23.08.2016, 11:37

Astroboy

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Okay, das habe ich überprüft und es gibt nur die 29. Alle kleineren Zahlen kommen auf eine andere Teilersumme.

Mit einem Online-Rechner habe ich mir die Summen schnell ausspucken lassen können. Wenn ich aber in einer Klausur sitze und alle Zahlen mit der Teilersumme 102 bestimmen soll kann ich ja nicht jede Zahl bis 101 ausprobieren. Dann ist meine Zeit rum bevor ich eine einzige Aufgabe erledigt hab. Gibt es da nicht einen anderen (und vor allem schnelleren!) Weg?

Um auf meine Formel von oben zurück zu kommen:

Eine Möglichkeit die 30 darzustellen wäre ja 2*3*5.

Nun versuche ich die 2 in der Form

$\begin{eqnarray*} \frac{p^{k+1}-1 }{p-1} =2 \end{eqnarray*}$

zu schreiben. Umgeformt komme ich dann zu der Gleichung:

$\begin{eqnarray*} p(p^{k} -1)=-1 \end{eqnarray*}$

Es gibt keine Primzahl p mit der diese Gleichung erfüllt sein könnte, also kann ich die 2 nicht in dieser Form darstellen. Damit wäre diese eine Darstellung der 30 schonmal nicht möglich. Bleiben noch die Formen 3*10 und 6*5 zu prüfen.

Kann ich so vorgehen?

Meine Vermutung bis jetzt, nach einigem herumprobieren: die Formel

$\begin{eqnarray*} \frac{p^{k+1}-1 }{p-1} =x \end{eqnarray*}$

ist für x=Primzahl nie lösbar. Damit wäre eine beliebige Teilersumme n, deren Primfaktorzerlegung eine ungerade Anzahl an verschiedenen Primfaktoren enthält, niemals zu erreichen, es sei denn n-1 ist prim (wie es eben bei der 30 der Fall ist).

Wenn meine Vermutung stimmt, dann ließe sich für die Teilersumme 102 sagen, dass 101 die einzige Zahl mit dieser Teilersumme ist. Und das ganze, ohne dass ich die Teilersumme von 1,...,101 berechnen musste

Kann mir jemand sagen, ob meine Vermutung stimmt? smile

23.08.2016, 12:01

tatmas

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Zitat:

Wenn ich aber in einer Klausur sitze und alle Zahlen mit der Teilersumme 102 bestimmen soll kann ich ja nicht jede Zahl bis 101 ausprobieren. Dann ist meine Zeit rum bevor ich eine einzige Aufgabe erledigt hab.

Wieso sollte sowas in einer Klausur gefragt werden?
Du begründest ja selber warum das keine gute Frage wäre.

Zitat:

Umgeformt komme ich dann zu der Gleichung: $\begin{eqnarray*} p(p^{k} -1)=-1 \end{eqnarray*}$

Die Umformung würd ich gern mal sehen.
Ich seh überhaupt nicht wie du auf diese Gleichung kommst.

Zitat:

Umgeformt komme ich dann zu der Gleichung:

$\begin{eqnarray*} Bleiben noch die Formen 3*10 und 6*5 zu prüfen. \end{eqnarray*}$

und 1*30.
Bei einer Zahl mit vielen Faktoren machst du dir damit das Leben nicht wirklich leichter.

Zitat:

die Formel $\begin{eqnarray*} \frac{p^{k+1}-1 }{p-1} =p \end{eqnarray*}$ ist für p=Primzahl nie lösbar

Da $\begin{eqnarray*} \frac{p^{k+1}-1 }{p-1} = \sum_{n=0}^k p^k \end{eqnarray*}$ , nach geometrischer Summenformel,
ist p kein Teiler von 1 ist, ist p kein Teiler dieses Ausdrucks, also kann dieser Ausdruck insb. nicht p sein.

Zitat:

Damit wäre eine beliebige Teilersumme n, deren Primfaktorzerlegung eine ungerade Anzahl an verschiedenen Primfaktoren enthält, niemals zu erreichen

Ich sehe nicht wie das aus dem obigen folgen sollte. Bitte den Beweis genauer ausführen.
Der Primfaktor p in der Teilersumme kann ja auch durchaus durch eine andere Primzahl q als Primfaktor erreicht werden.

23.08.2016, 12:16

Astroboy

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Zitat:

Umgeformt komme ich dann zu der Gleichung: $\begin{eqnarray*} p(p^{k} -1)=-1 \end{eqnarray*}$

Die Umformung würd ich gern mal sehen.
Ich seh überhaupt nicht wie du auf diese Gleichung kommst.

$\begin{eqnarray*} \frac{p^{k+1}-1 }{p-1}=2 p^{a+1} -1=2p-2 p^{a+1} -2p=-1 p(p^{a} -2)=-1 \end{eqnarray*}$

Sorry. Hab hier 1 statt 2 geschrieben. Ändert aber nichts daran, dass die Gleichung nicht lösbar ist für p=Primzahl.

Zitat:

die Formel $\begin{eqnarray*} \frac{p^{k+1}-1 }{p-1} =p \end{eqnarray*}$ ist für p=Primzahl nie lösbar

Ja sorry, habe das p bereits durch x ersetzt. Hab ich selber gemerkt, dass die Bezeichnung blod war Big Laugh

Zitat:

Damit wäre eine beliebige Teilersumme n, deren Primfaktorzerlegung eine ungerade Anzahl an verschiedenen Primfaktoren enthält, niemals zu erreichen

Ich sehe nicht wie das aus dem obigen folgen sollte.

Auch hier hatte ich einen Denkfehler. Ich ändere die Anzahl der unterschiedlichen Primfaktoren von "ungerade" auf 3. Dann müsste es ja stimmen. Eine Zahl mit drei Primfaktoren hat als Teiler immer mindestens einen Primfaktor (2*3*5, 2*15, 3*10, 6*5) außer ich schaue mir die Zahl selber und 1 als Teiler an.

23.08.2016, 12:27

tatmas

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Zitat:

Hab hier 1 statt 2 geschrieben.

So machts dann auch Sinn.

Zitat:

p=Primzahl.

Bitte schnellstmöglich wieder abgewöhnen. Das ist sowohl furchtbares deutsch, als auch furchtbarer mathematischer Stil. Schreib den Halbsatz halt aus.

Zitat:

Ja sorry, habe das p bereits durch x ersetzt. Hab ich selber gemerkt, dass die Bezeichnung blod war

Ich kann nicht folgen. Die Bezeichnung hier sind nicht blöd.

Zitat:

Dann müsste es ja stimmen.

Und ich sag es müsste nicht. Was machen wir jetzt?
Du musst in der Mathematik deine Aussagen schon beweisen, reines behaupten langt nicht.
(Das funktioniert in der Astronomie ja auch nicht, oder steht dein Astro für Astrologie?)

23.08.2016, 12:39

Astroboy

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Sei m=p1*p2*p3.

Die verschiedenen Teiler von m lassen sich dann als Kombinationen von p1, p2 und p3 schreiben.

Beachte die Teiler von m außer die trivialen Teiler 1 und m. Diese sind p1, p2, p3 und

T1=p1*p2

T2=p1*p3

T3=p2*p3

m als Produkt seiner Teiler lässt sich dann nur schreiben als

m=T1*p3 -> Ein Faktor ist Primzahl

m=T2*p2 -> Ein Faktor ist Primzahl

m=T3*p1 -> Ein Faktor ist Primzahl

m=p1*p2*p3 -> Alle Faktoren sind Primzahlen.

Ich kann also immer mindestens einen der Faktoren nicht in der oben angegebenen Form schreiben.

23.08.2016, 12:47

tatmas

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Zitat:

m als Produkt seiner Teiler lässt sich dann nur schreiben als
m=T1*p3 -> Ein Faktor ist Primzahl
m=T2*p2 -> Ein Faktor ist Primzahl
m=T3*p1 -> Ein Faktor ist Primzahl
m=p1*p2*p3 -> Alle Faktoren sind Primzahlen.

Du hast hoffentlich klar, dass du viermal das selbe geschrieben hast. Setz doch deine T1,T2,T3 ein.

Zitat:

Ich kann also immer mindestens einen der Faktoren nicht in der oben angegebenen Form schreiben.

Das ist eine Behauptung ohne irgendeinen Beweis.
z.B. ist 2*3=6
aber $\begin{eqnarray*} \sigma (5)=6 \end{eqnarray*}$ . Ich habe also 2*3 durch eine andere Zahl als 2 oder 3 erzeugt.
oder $\begin{eqnarray*} \sigma (64)=127 \end{eqnarray*}$

Darauf hatte ich bereits hingewiesen:

Zitat:

Der Primfaktor p in der Teilersumme kann ja auch durchaus durch eine andere Primzahl q als Primfaktor erreicht werden.

23.08.2016, 12:58

Astroboy

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Zitat:

aber $\begin{eqnarray*} \sigma (5)=6 \end{eqnarray*}$ . Ich habe also 2*3 durch eine andere Zahl als 2 oder 3 erzeugt.

Ja, dass das möglich ist ist mir klar. Aber um auf die Teilersumme 30 zu kommen brauche ich dann (weil die Teilersummenfunktion multiplikativ ist)

$\begin{eqnarray*} \sigma (5) * \sigma (m) = 30 \Rightarrow \sigma (m) = 5 \end{eqnarray*}$

Da es kein solches m gibt, gibt es hier keine Möglichkeit auf die Teilersumme 30 zu kommen, außer eben mit der 29.

Naja, ich will mich jetzt auch nicht stundenlang an dieser Aufgabe aufhalten. Wenn denn eine solche Aufgabe in der Klausur kommen sollte werde ich wohl den langen Weg mit den einzelnen Teilersummen nehmen.

Danke

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