Zahl so bestimmen, dass sie Vielfaches von m ist

23.08.2016, 11:55

Astroboy

Zahl so bestimmen, dass sie Vielfaches von m ist

Ich hab heute direkt noch eine Frage smile

Aufgabe: Bestimme alle Möglichkeiten von Ziffern x, y, z, so dass

458.33x.6y9.z76 ein Vielfaches von 1584 ist.

Hier stehe ich gerade komplett auf dem Schlauch unglücklich

Wie könnte man an diese Aufgabe herangehen?

23.08.2016, 12:03

IfindU

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RE: Zahl so bestimmen, dass sie Vielfaches von m ist
Mein Vorschlag wäre
$\begin{eqnarray*} 457 33x 6y9 z76 = 457 330 609 076 + x\cdot 100000 + y \cdot 10000 + z \cdot 100 \end{eqnarray*}$ zu schreiben, und jetzt Summandenweise modulo 1584 zu rechnen. Das ergibt dann 'überblickbare' Zahlen.

23.08.2016, 12:03

tatmas

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Hallo,

kennst du modulo-Rechnung?

23.08.2016, 12:27

Astroboy

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Okay, dann modulo.
Ergibt dann

$\begin{eqnarray*} \equiv 1364+496x+496y+100z mod 1584<br /> <br /> <br /> \equiv 341+124x+124y+25z mod 396 \end{eqnarray*}$

Und weiter? Irgendwie habe ich hier zu viele Variablen, oder?

23.08.2016, 13:25

IfindU

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Wenn du dich nicht verrechnet hast, so sind es effektiv nur 2, da $\begin{eqnarray*} x + y =: a \end{eqnarray*}$ effektiv eine neue Variable mit Werten zwischen 0 und 18 ist.

Ansonsten nehme an du hast eine Lösung, also $\begin{eqnarray*} 341 + 124 a + 25z = 396m \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} m \geq 1 \end{eqnarray*}$ . Dann kannst du das Modulo 25 betrachten, und hast eine notwendige (wenn auch nicht zwingend hinreichende) Bedingung für a. Modulo 124 ähnlich für z. Dann sollte es schon deutlich eingeschränkt sein welche Werte möglich sind.

Edit: Vermutlich ist es deutlich angenehmer modulo mit Teilern von 396 zu probieren.

23.08.2016, 16:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von IfindU
Vermutlich ist es deutlich angenehmer modulo mit Teilern von 396 zu probieren.

Da kann ich nur zustimmen: $\begin{align*} 396=2^2\cdot 3^2\cdot 11 \end{align*}$

Modulo 4 liefert $\begin{align*} z\equiv 3\bmod 4 \end{align*}$ , also z=3 oder z=7.

Modulo 99 liefert $\begin{align*} a+z\equiv 22\bmod 99 \end{align*}$ , angesichts von $\begin{align*} 0\leq a\leq 18 \end{align*}$ bleibt da nur Kombination $\begin{align*} a=15,z=7 \end{align*}$ .

EDIT: Mir fällt gerade auf, dass im Originalbeitrag die Zahl mit 458 anfängt, im Beitrag von IfindU dann aber mit 457. In dem Fall habe ich wohl mit den falschen Werten gerechnet. Mit 458 wird die letzte Bedingung zu $\begin{align*} a+z\equiv 12\bmod 99 \end{align*}$ , da gibt es ein paar mehr Lösungen...

24.08.2016, 06:13

IfindU

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Entschuldige geschockt

Ärgerlicher Tippfehler.

24.08.2016, 09:28

HAL 9000

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Bleibt noch festzstellen, dass die Kombination $\begin{align*} z=3 \end{align*}$ mit $\begin{align*} a=x+y=9 \end{align*}$ dann 10 Zifferntripel $\begin{align*} (x,y,z) \end{align*}$ ergibt, und $\begin{align*} z=7 \end{align*}$ mit $\begin{align*} a=x+y=5 \end{align*}$ immerhin noch 6 solche Tripel, so dass es insgesamt 16 Zahlen 458.33x.6y9.z76 gibt, die durch 1584 teilbar sind.

24.08.2016, 20:34

Astroboy

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Ah super, danke euch smile

Hatte gestern keine Zeit mehr das ganze auszuprobieren, bin aber eben zu dem gleichen Ergebnis gekommen. Vielen dank smile

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