Trigonometrischen Term umformen

23.08.2016, 17:31

ixos

Trigonometrischen Term umformen

Meine Frage:
krieg ich irgendwie nicht so hin.

Es geht um $\begin{eqnarray*} \sqrt{2-2cos(x)} \end{eqnarray*}$ . Zum Schluß soll da sin(x/2) herauskommen.

grüsse

Meine Ideen:

Leider habe ich überhaupt keine Idee dazu.
Wie geht man das denn theoretisch an?

Korrektur aus zweitem Beitrag übernommen, diesen gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen

23.08.2016, 18:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von ixos
Es geht um $\begin{eqnarray*} \sqrt{2-2cos(x)} \end{eqnarray*}$ . Zum Schluß soll da sin(x/2) herauskommen.

Nein, umgeformt ergibt sich allenfalls $\begin{align*} 2\cdot \left|\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right| \end{align*}$ . Begründet werden kann das über das Doppelwinkel-Additionstheorem $\begin{align*} \cos(2t)=1-2\sin^2(t) \end{align*}$ angewandt auf $\begin{align*} t=\frac{x}{2} \end{align*}$ .

23.08.2016, 20:03

ixos

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Sieht ja toll aus:

Im Original läuft das über

$\begin{eqnarray*} sqrt{4 sin^2(x/2)} \end{eqnarray*}$ .

Nur bei der Intergration der letzten Stufe komme ich zum Erfolg (0 bis 2pi =8r). Bei den Zwischenstufen erscheint nach Integrieren immer ein cot(x/2) als Faktor. und das nullt mir alles. das kann doch eigentlich nicht sein, oder?

grüsse ixos

23.08.2016, 20:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von ixos
Nur bei der Intergration der letzten Stufe komme ich zum Erfolg (0 bis 2pi =8r).

Vielleicht fängst du mal von vorn an, damit wir wissen, über welche Integration bzw. überhaupt welche Aufgabe du da redest. Dieses Raten/Konstruieren der Aufgabenstellung mag ja für manche ganz lustig sein, aber wir sind hier nicht in der Rätselecke. unglücklich

24.08.2016, 11:20

ixos

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@HAL 9000

Sorry! Das war etwas missverständlich.

Es ging mir hauptsächlich um die Umformung. In meinem Skript wird das zweimal umgeformt dargestellt(aber nicht erläutert) und die letztendliche Umformung(die auch der Deinen entspricht) integriert.
Mir kam das etwas komisch vor. Deshalb hatte ich auch die Zwischenformen für mich integriert und war erstaunt, dass da immer Null $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ (nicht Null wie anfangs geschrieben) rauskam. Eben wegen des cot-Faktors.

Hier die Umformungsstufen:

0) $\begin{eqnarray*} \sqrt{2-2 cos(x)} \end{eqnarray*}$

1) $\begin{eqnarray*} \sqrt{4 sin^2(x/2)} \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \sqrt{2 sin(x/2)} \end{eqnarray*}$

Soweit so gut.
Integriere ich die Stufen erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} 0) -2 \sqrt{2-2 cos(x)}*cot(x/2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1) -4 \sqrt{sin^2(x/2)}*cot(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2) -4 cos(x/2) \end{eqnarray*}$

Da ich von Null bis $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ intergiere, bin ich da ja in Stufen 0) und 1) einem nicht definierten Bereich. Und da kann man sich einfach durch Umformen drüber weghelfen? Was in meinem Skript leider auch kommentarlos geschah.

24.08.2016, 15:06

HAL 9000

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Wieso wird bei 1) aus $\begin{align*} \cot(x/2) \end{align*}$ plötzlich $\begin{align*} \cot(x) \end{align*}$ ? Genauso falsch ist die Wurzel in

Zitat:

Original von ixos
2) $\begin{eqnarray*} \sqrt{2 sin(x/2)} \end{eqnarray*}$

Wie oben erwähnt, sollte da zunächst $\begin{align*} 2\cdot \left| \sin\left(\frac{x}{2}\right)\right| \end{align*}$ stehen.

Wenn du nur $\begin{align*} 0\leq x\leq 2\pi \end{align*}$ betrachtest, dann ist $\begin{align*} 0\leq \frac{x}{2}\leq \pi \end{align*}$ und der Sinus ist in diesem Intervall $\begin{align*} [0,\pi] \end{align*}$ ja von Haus aus nichtnegativ, d.h., in diesem Intervall kann dann tatsächlich auf die Betragsstriche verzichtet werden:

2) $\begin{align*} 2\sin\left(\frac{x}{2}\right) \end{align*}$

Und dessen Integration ergibt

$\begin{align*} \int\limits_0^{2\pi} \sqrt{2-2\cos(x)} ~ \dd x = \int\limits_0^{2\pi} 2\sin\left(\frac{x}{2}\right) ~ \dd x = \left[ -4\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right]_{x=0}^{2\pi} = -4\cos(\pi) + 4\cos(0) = 8 \end{align*}$ .

Ich weiß nicht, aus welchen Gründen du da mit den in der Tat an einzelnen Stellen problematischen Kotangens rumoperierst - jedenfalls sind das sämtlich "hebbare" Unstetigkeitsstellen, insofern kein großes Problem. Aber besser geht man dem gleich ganz aus dem Weg, was (wie ersichtlich) ja hier möglich ist.

24.08.2016, 17:09

ixos

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Hi HAL 9000:

Zitat:

"Wieso wird bei 1) aus cot(x/2) plötzlich cot(x) ? Genauso falsch ist die Wurzel in... ?"

Weil ich mich verschieben habe!

Zitat:

"Ich weiß nicht, aus welchen Gründen du da mit den in der Tat an einzelnen Stellen problematischen Kotangens rumoperierst .... "

Weil diese drei Schritte in dem Skript extra angegeben sind.

Zitat:

" ... - jedenfalls sind das sämtlich "hebbare" Unstetigkeitsstellen, insofern kein großes Problem. Aber besser geht man dem gleich ganz aus dem Weg, was (wie ersichtlich) ja hier möglich ist."

Ähm, "hebbar"? Ist gleich "behebbar"?

Du siehst also dem Ausgangsintegranden diese Problematik an und gehst der wohlweislich von vorne herein aus dem Weg?

Wow! Wie macht man das? Das würde ich auch gerne können!

grüsse ixos smile

24.08.2016, 17:57

HAL 9000

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Wenn ich "behebbar" gemeint hätte, dann hätte ich das geschrieben. Nein, ich meine wirklich hebbar (erste Bedeutung).

24.08.2016, 19:36

ixos

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Zitat:

"Du siehst also dem Ausgangsintegranden diese Problematik an und gehst der wohlweislich von vorne herein aus dem Weg?

Wow! Wie macht man das? Das würde ich auch gerne können!"

Auf das mir Wichtigste bist Du leider nicht eingegangen!

grüsse Wink

24.08.2016, 19:40

ixos

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Nachtarg @ HAL 9000:

Zitat aus Wikipedia "Definitionslücke":

"Die Definitionslücken einer Funktion lassen sich klassifizieren und gegebenenfalls „r e p a ri e r e n“, so dass die Funktion dort mit den gewünschten Eigenschaften fortgesetzt werden kann. In diesem Fall ist die Funktion stetig fortsetzbar und hat stetig h e b b a r e Definitionslücken."

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