Verständnisproblem über Konvergenz in Wahrscheinlichkeit

23.08.2016, 18:24

Dukkha

Verständnisproblem über Konvergenz in Wahrscheinlichkeit

Hallo,

Ich habe ein Verständnisproblem zu einer Aufgabe über Konvergenz in Wahrscheinlichkeit.

Sei $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ eine Folge von unabhängigen Zufallsvariable mit der Verteilung $\begin{eqnarray*} P(X_n= 0)=1-\frac{1}{n^{\alpha}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(X_n=n)=\frac{1}{n^{\alpha}} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \alpha>0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ . Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray*} X_n\to 0 \end{eqnarray*}$ in Wahrsheinlichkeit.

Nun steht in der Lösung:

$\begin{eqnarray*} P(|X_n|>\epsilon)=P(X_n=n)=\frac{1}{n^{\alpha}}\to 0 \end{eqnarray*}$

Weshalb stimmt das erste Gleichheitszeichen? Warum ist $\begin{eqnarray*} P(|X_n|>\epsilon) \end{eqnarray*}$ ein einzelner Wert und keine Summe? Für mich ist $\begin{eqnarray*} P(|X_n|>\epsilon)=\sum_{n>\epsilon} P(|X_n|=n) \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für Aufklärung.

23.08.2016, 18:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dukkha
Warum ist $\begin{eqnarray*} P(|X_n|>\epsilon) \end{eqnarray*}$ ein einzelner Wert und keine Summe?

$\begin{align*} X_n \end{align*}$ kann laut angegebener Verteilung nur zwei Werte annehmen, nämlich $\begin{align*} 0 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} n \end{align*}$ .

Welche(r) davon genügt der Bedingung, dass er betragsmäßig größer als $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ ist (ein hinreichend kleines $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ vorausgesetzt, sagen wir $\begin{align*} 0<\epsilon<1 \end{align*}$ ) ? smile

23.08.2016, 18:29

IfindU

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RE: Verständnisproblem über Konvergenz in Warhscheinlichkeit

Zitat:

Original von Dukkha
Für mich ist $\begin{eqnarray*} P(|X_n|>\epsilon)=\sum_{n>\epsilon} P(|X_n|=n) \end{eqnarray*}$

Richtig wäre $\begin{eqnarray*} P(|X_n|>\epsilon)=\sum_{k>\epsilon} P(|X_n|=k) \end{eqnarray*}$ . Jetzt siehst du es vermutlich.

23.08.2016, 20:34

Dukkha

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RE: Verständnisproblem über Konvergenz in Warhscheinlichkeit
Achso, jetzt verstehe ich es. Habe das irgendwie missverstanden, dass eine Zufallsvariable nur den Wert 0 oder den zum passenden $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Wert annehmen kann. Vielen Dank!

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