100 Flaschen 100 Euro |
| 24.08.2016, 08:51 | Marckus1987 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| 100 Flaschen 100 Euro Hallo, Habe folgendes Mathematisches Problem: Habe 100 Euro und soll 100 Flaschen Getränke kaufen. Ich muss von jeder Sorte mindestens eine Flasche kaufen. 1 Flasche Sekt kostet 10 Euro 1 Flasche Wein kostet 3 Euro 1 Flasche Bier kostet 0,5 Euro Die Lösung habe ich durch ausprobieren gelöst (5 Flaschen Sekt, 1 Flasche Wein, 94 Flaschen Bier). Aber da muss es doch eine Mathematische Formel geben um auf die Lösung zu kommen. Mein Ansatz wer 100=10a+3b+0,5c. Weiter bin ich nicht gekommen. Danke für eure Hilfe! Meine Ideen: Mein Ansatz wer 100=10a+3b+0,5c. |
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| 24.08.2016, 09:22 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist die Gleichung für den Gesamtpreis 100 Euro. Eine weitere Gleichung ergibt sich durch die Forderung der Flaschenanzahl 100: . Damit haben wir ein Gleichungssystem bestehend aus 2 Gleichungen für 3 positiv ganzzahlige Variablen (--> Diophantische Gleichung). Man kann z.B. die erste Gleichung nach umstellen (c = 200-20a-6b) und in die zweite einsetzen: Weil hier die rechte Seite durch 5 teilbar ist, muss es auch die linke sein, und damit muss auch durch 5 teilbar sein. geht nicht, weil da die gesamte Summe von 100 Euro schon aufgebraucht wäre, es bleibt nur Möglichkeit übrig und damit dann und schließlich . |
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| 24.08.2016, 12:43 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: 100 Flaschen 100 Euro Man könnte auch das Gleichungssystem klassisch mit Gauß lösen und erhält den Lösungsvektor Dann sieht man zunächst, dass c mindestens 80 sein muß, damit a mindestens 0 wird. Der nächstgrößere Wert von c, so dass a ganzzahlig wird, ist 94. Probe mit b bestätigt, dass das schon die endgültige Lösung ist. |
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| 24.08.2016, 14:47 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und das sieht man wie? Durch aufwändiges Probieren, oder aber weitere (hier nicht dargestellte) Zwischenschritte. 
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| 24.08.2016, 15:11 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eher letzteres. a=0 für c=80 ist klar. Im übrigen ist a ganzzahlig, wenn (5c - 400) durch 14 teilbar ist. Also 5c = 400 + k*14. Da nun 400 schon durch 5 teilbar ist, ist auch ohne große Rechnerei überschaubar, für welches k>0 ein Vielfaches von 14 am Ende erstmals eine 0 oder 5 hat, womit auch c ganzzahlig ist. |
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