Faltung

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24.08.2016, 10:03	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Faltung Hallo zusammen, ich möchte folgende Faltung explizit berechnen: $\begin{eqnarray} \int e^{-\frac{1}{2}(x-\delta)^T W (x-\delta)} e^{-\frac{1}{2}(x-\lambda)^T N (x-\lambda)}dx \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} x, \delta, \lambda \in\mathbb R^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} W, N\in\mathbb R^{n\times n} \end{eqnarray}$ Diagonalmatrizen. Hat mir hierzu vielleicht jemand ein Beispiel im Netz. Das scheint mir eine Standardfaltung zu sein. Danke und Grüße
24.08.2016, 10:49	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faltung Wenn man das Integral für $\begin{eqnarray} n = 1 \end{eqnarray}$ gelöst hat, kann man es recht leicht auf den allgemeinen Fall übertragen. Und mit bisschen rechnen und substituieren, kann man es auf $\begin{eqnarray} \int e^{-x^2/2} \end{eqnarray}$ runterbrechen.
24.08.2016, 12:52	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo IfindU, danke dafür, hatte wohl nicht den Mut dies anzugehen. Hat auch geklappt jetzt. Ich habe aber noch eine Sache, die wohl etwas schwerer ist, wenigstens bin ich mir hier nicht mal mehr sicher, ob es eine analytische Lösung gibt: $\begin{eqnarray} \int (1+\sqrt{3}\sqrt{(x-\delta)^T W (x-\delta)}) e^{-\sqrt{3}\sqrt{(x-\delta)^T W (x-\delta)})}e^{-\frac{1}{2}(x-\lambda)^T N (x-\lambda)}dx \end{eqnarray}$ Grüße
24.08.2016, 13:03	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Momentan sehe ich auch nichts. Schon für $\begin{eqnarray} n = 1 \end{eqnarray}$ steht dort sowas wie $\begin{eqnarray} \int \|x\| e^{-\|x\| - x^2} \end{eqnarray}$ , was recht unangenehm aussieht. Vermutlich noch lösbar, und damit bin ich auch optimistisch für dein Integral, wenn W und N Vielfache der Einheitsmatrix sind. Der allgemeine Fall...Da müsste wohl jemand mit einem besseren Auge ran.
25.08.2016, 09:56	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Prinzipiell handelt es sich um das folgende Problem, oder? $\begin{eqnarray} \int \left(\sqrt{3}\sqrt{w\left(x-\delta\right)^2+d}+1\right)\mathrm{e}^{-\sqrt{3}\sqrt{w\left(x-\delta\right)^2+d}-\frac{1}{2}n\left(x-\lambda\right)^2+e}dx \end{eqnarray}$ Das deinige vereinfachte Problem ist tatsächlich noch lösbar, sobald aber der Summand d hineinspielt bekommt man glaube ich Probleme. Wenigstens erhalte ich für etliche Online-Integrierer, die eigentlich sehr gute Ergebnisse bis dato für mich erzielt haben, nichts heraus.
25.08.2016, 10:13	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe ehrlich gesagt nicht was das Problem darstellen soll.
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25.08.2016, 10:25	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut ich war etwas faul mit dem Abkürzungen: $\begin{eqnarray} \int \left(\sqrt{3}\sqrt{\hat{w}\left(\hat{x}-\hat{\delta}\right)^2+d}+1\right)\mathrm{e}^{-\sqrt{3}\sqrt{\hat{w}\left(\hat{x}-\delta\right)^2+d}-\frac{1}{2}\hat{n}\left(\hat{x}-\hat{\lambda}\right)^2+e}d\hat{x} \end{eqnarray}$ Hier bedeutet $\begin{eqnarray} \hat{ } \end{eqnarray}$ das eindimensionale Problem, also ein Eintrag z.b. von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Es unterscheidet sich von deinem prinzipiell nur um den Summanden d unter der Wurzel, was es schwieriger macht, und dazu habe ich eben weitere Konstanten und Summanden gewählt für die restlichen Ausdrücke.
25.08.2016, 10:30	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Also falls W und N Vielfache der Einheitsmatrix sind, so ist $\begin{eqnarray} \int (1+\sqrt{3}\sqrt{(x-\delta)^T W (x-\delta)}) e^{-\sqrt{3}\sqrt{(x-\delta)^T W (x-\delta)})}e^{-\frac{1}{2}(x-\lambda)^T N (x-\lambda)}dx<br /> =\int (1+\sqrt{3}\sqrt{w\|x-\delta\|^2}) e^{-\sqrt{3}\sqrt{w\|x-\delta\|^2})}e^{-\frac{1}{2}n\|x-\lambda\|^2}dx \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} \|x\|^2 = \sum_{k = 1}^n x_i^2 \end{eqnarray}$ . Ich sehe nicht woher dein $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ kommt.
25.08.2016, 10:37	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich nach einer Komponente $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ integriere summieren die anderen zu $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ .
25.08.2016, 10:46	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahso, du fixierst die restlichen Komponenten und gibst denen einen neuen Namen?
25.08.2016, 10:47	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig!
25.08.2016, 10:53	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay. Ich stimme zu, dass das nicht besonders nett aussieht. Mein Gedankengang war nach einer Substitution $\begin{eqnarray} \int (1+\sqrt{3}\sqrt{w\|x-\delta\|^2}) e^{-\sqrt{3}\sqrt{w\|x-\delta\|^2})}e^{-\frac{1}{2}n\|x-\lambda\|^2}dx<br /> =\int (1+\sqrt{3}\sqrt{w\|x\|^2}) e^{-\sqrt{3}\sqrt{w\|x\|^2})}e^{-\frac{1}{2}n\|x+\delta-\lambda\|^2}dx<br /> =\int (1+\sqrt{3}\sqrt{w}\|x\|) e^{-\sqrt{3}\sqrt{w} \|x\| }e^{-\frac{1}{2}n\|x+\delta-\lambda\|^2}dx \end{eqnarray}$ . zu haben. Zumindest in 2D kann man vlt etwas mit Polarkoordinaten fabrizieren. Aber das sieht nach viel Arbeit aus, für den Spezialfall eines Spezialfalles.

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