Transitive Operation => welche Eigenschaften für induzierten Homomorphismus

24.08.2016, 10:19	steph88	Auf diesen Beitrag antworten »
Transitive Operation => welche Eigenschaften für induzierten Homomorphismus Ich hänge derzeit bei folgender Aufgabe: Welche Eigenschaft ergibt sich für den zugeordneten Homomorphismus $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ , falls die Operation transitiv ist? Was mir klar ist: Jede Operation $\begin{eqnarray} \star \end{eqnarray}$ einer Gruppe G auf einer Menge X induziert einen Homomorphismus $\begin{eqnarray} \phi : G \rightarrow S(X), g \rightarrow \Phi_g \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \phi_g: X \rightarrow X, x \rightarrow g \star x \end{eqnarray}$ . wobie $\begin{eqnarray} \phi_g \end{eqnarray}$ bijektiv ist. Mir ist ach die definition von transitiv bekannt und verständlich: Eine Operation $\begin{eqnarray} \star \end{eqnarray}$ einer Gruppe G auf einer Menge X hießt transitiv wenn X selbst eine Bahn ist, d.h. für je zwei Elemente $\begin{eqnarray} x, y \in X \exists g \in G \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} y= g \star x \end{eqnarray}$ , bzw. $\begin{eqnarray} X = G \star x \forall x \in X \end{eqnarray}$ Jedoch hab ich keine Idee, welchen Einfluss die Transitivität der Operation auf den Homomorphismus hat. (Bei ähnlichen Aufgaben - Operation treu, bzw. trivial => Auswirkung auf Homomorphismus - habe hatte ich zumindest eine Grundidee was passiert, und konnte darauf aufbauend herausfinden, dass der zugehörige Homomorphismus injektiv ist, bzw. der Kern ganz G ist.) Hat jemand einen Tipp für mich?
24.08.2016, 11:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
ohne genau hinzusehen oder zu überlegen : es bleibt noch die Eigenschaft "surjektiv" übrig. Man könnte dann den schönen Satz aussprechen: Eine Gruppe G, die treu und transitiv auf einer Menge X operiert, ist isomorph zur symmetrischen Gruppe S(X).

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