Punktmenge eines Kreiskegels

24.08.2016, 15:19

Shalec

Punktmenge eines Kreiskegels

Hallo allerseits,

ich brauche die Punktmenge eines Kreiskegels. Dieser hat die Grundfläche auf der x-z-Ebene und die Höhe ist parallel zur y-Achse. Grundradius: R, Höhe: h.
Das Ziel ist es das Volumen über Mehrfach(Volumen-)integrale zu berechnen. Daher habe ich den Kegel auf dem Kopfstehend für mich gedanklich modelliert.

Nach einigen Überlegungen bin ich darauf gekommen, dass in Abhängigkeit der Höhe der Radius des (zur Grundfläche parallelen) Kegelschnittes linear abhängig von der Höhe ist, also: $\begin{eqnarray*} R_y = \frac{y}{h}\cdot R \end{eqnarray*}$

Ich würde nun vermuten, dass sich damit die Punktmenge K wie folgt ergibt:
$\begin{eqnarray*} K=\{ (x,y,z) | 0 \leq x^2+z^2 \leq R_y^2, 0\leq y\leq h\} \end{eqnarray*}$

Ist dies eine korrekte Beschreibung der Punktmenge?

Viele Grüße und vielen Dank für die Hilfe

24.08.2016, 15:28

klarsoweit

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RE: Punktmenge eines Kreiskegels

Zitat:

Original von Shalec
Nach einigen Überlegungen bin ich darauf gekommen, dass in Abhängigkeit der Höhe der Radius des (zur Grundfläche parallelen) Kegelschnittes linear abhängig von der Höhe ist, also: $\begin{eqnarray*} R_y = \frac{y}{h}\cdot R \end{eqnarray*}$

Dann wäre also für y=0 der Radius R_y = 0 ?

24.08.2016, 15:32

Shalec

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RE: Punktmenge eines Kreiskegels

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Dann wäre also für y=0 der Radius R_y = 0 ?

Ja. Ich habe mir den Kegel nun auf dem Kopfstehend mit Spitze im Punkt (0,0,0) vorgestellt. Für das Volumen spielt das ja keine Rolle :-)

24.08.2016, 15:49

klarsoweit

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RE: Punktmenge eines Kreiskegels
OK, dann steht dem Integrieren nichts im Wege. smile

24.08.2016, 17:35

Shalec

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Danke, damit konnte ich nun das Volumen bestimmen.

Nun interessiert mich die Mantelfläche. Hier erhalte ich eine Abweichung zu der Formel in der Literatur.

Zum Volumenintegral kurz: (Nach einer Transformation in Zylinderkoordinaten)
$\begin{eqnarray*} \int_0^h \int_0^{R_y} \int_0^{2\pi} r d\varphi dr dy = \frac{\pi R^2 h}{3} \end{eqnarray*}$

Zum Flächenintegral:
Hier gilt nicht, wie beim Volumen: $\begin{eqnarray*} 0\leq r\leq R_y \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} r=R_y \end{eqnarray*}$ . Damit kann ich das Integral über $\begin{eqnarray*} dr \end{eqnarray*}$ weglassen. Beim Rest dürfte sich nichts ändern. Damit erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \frac{R}{h}\int_0^h \int_0^{2\pi} y d\varphi dy = \frac{2\pi R}{2h}\cdot h^2 = \pi R h \end{eqnarray*}$
Dies ist aber nicht das erwartete Ergebnis $\begin{eqnarray*} \pi R s \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s^2= R^2+h^2 \end{eqnarray*}$ . Also muss ich einen gedanklichen Fehler haben.

Siehst du zufällig, wo mein Fehler liegt? Danke :-)

27.08.2016, 14:53

Shalec

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Hej,

könnte nochmal jemand über das Doppelintegral für die Mantelfläche schauen?

Viele Grüße und vielen Dank

29.08.2016, 19:19

Shalec

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Hey, ich weiß leider immer noch nicht, wo mein Fehler liegt..
Könnte mir sonst jemand die Menge geben, über die ich integrieren muss, um die Mantelfläche zu erhalten?

Nach einiger Überlegung bin ich nun auf einen Fehler gestoßen: Ich integrierte zuvor über die Höhe. Dies liefert mir natürlich, wenn überhaupt, die Mantelfläche eines Zylinders. Ich muss die Mantellinie mit einbringen. Also dachte ich:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \int_0^{s} \frac{Rz}{h} dz d\varphi = \frac{\pi R s^2}{h} \end{eqnarray*}$ auch nicht korrekt..

Viele Grüße

29.08.2016, 21:09

Shalec

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Ich habe eine vage Theorie, wie man die Mantelfläche berechnen könnte..

Ich integriere über die beiden Parameter, für den Grundkreis mit den Integrationsgrenzen $\begin{eqnarray*} \int_0^R \int_0^{2\pi} \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} \int_0^R \int_0^{2\pi}1 d\varphi dr = 2\pi R \end{eqnarray*}$ der Umfang eine Kreises mit Radius R.

Nun gehe ich in die Topologie und verklebe den Ursprung mit jedem Punkt auf dem Kreis. So erhalte ich am Ende den Kegel. Meine Idee ist also:

$\begin{eqnarray*} \int_0^R \int_0^{2\pi} ||(rcos\varphi, rsin\varphi, h)|| d\varphi dr \end{eqnarray*}$ zu integrieren. (Zylinderkoordinaten mit fester Höhe h bzgl. der euklidischen Norm)

$\begin{eqnarray*} \int_0^R \int_0^{2\pi} ||(rcos\varphi, rsin\varphi, h)|| d\varphi dr = 2\pi \cdot \int_0^R \sqrt{r^2 + h^2} dr = 2\pi \cdot \int_0^R r\cdot \sqrt{1+\left( \frac{h}{r} \right)^2} \end{eqnarray*}$

Nach der geometrischen Deutung sind r die Gegen- und h die Ankathete vom Öffnungswinkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ . Also kann ich $\begin{eqnarray*} \frac{h}{r} = cot(\alpha) \end{eqnarray*}$ setzen. Es ist also zu r=R:

$\begin{eqnarray*} = 2\pi \int_0^R r\cdot \sqrt{1+cot^2(\alpha)} dr = \pi R^2 \sqrt{1+cot^2(\alpha)} = \pi R\cdot \sqrt{R^2 + R^2\cdot cot(\alpha)} = \pi R \sqrt{R^2+h^2} = \pi R s \end{eqnarray*}$ für die Mantellinie s.

Dieses Ergebnis stimmt, kommt mir aber zu abenteuerlich vor. Gibt es nicht auch einen naheliegenderen Weg?

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