Würfelwurf Kombinationen mit Sortieren |
| 24.08.2016, 16:57 | KaterGererg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Würfelwurf Kombinationen mit Sortieren Seien 5 Würfel mit den Zahlen 1,...,6 zufällig geworfen und werden danach sortiert. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit der Ergebnistupel (1,2,3,4,5) und (2,2,2,3,3)? Macht es einen Unterschied, ob die Würfel unterscheidbar sind? Danke im Vorraus für die Hilfe. Mir geht es hier nicht direkt um eine Lösung, sondern um das Verstehen. Meine Ideen: Leider habe ich zwei sich widersprechende Ansätze: 1) Da die Würfel sowieso nachher sortiert werden, ist es schonmal egal, ob ihre (existente oder nicht existente) Grundordnung zerstört wird. Nun haben wir einen Laplace Raum mit diesen beiden Ereignissen als Elementarereignisse. Nun muss man noch die Anzahl der möglichen Fälle ermitteln: Diese erhält man durch ein Urnenexperiment mit Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge mit n = 6, k = 5, d.h. Möglichkeiten. Die beiden Ergebnistupel haben jeweils die W-Keit 1/252. 2) bei unterscheidbaren Würfeln: Beide sortierten Tupel erhält man jeweils durch 5! viele unsortierte Tupel (weil man ja quasi die Reihenfolge der Zahlen der sortierten Tupel durcheinander werfen kann, werden danach ja sortiert). Da der Grundraum beliebige 5er Tupel aus den Zahlen 1,...,6 sind, also mit Wiederholung, mit Reihenfolge, gibt es 6^5 viele Möglichkeiten insgesamt. D.h. die beiden gewünschten Tupel haben jeweils die W-Keit Bei nicht unterscheidbaren Würfeln habe ich hier keine Ahnung. Ich vermute, das Problem liegt darin, wie ich den Grundraum anlege. D.h. ob ich sage, ich will ihn als alle Tupel mit Wdh. ohne Reihenfolge oder als alle Tupel mit Wdh. mit Reihenfolge. Danach ist noch die Frage, ob ersterer Grundraum überhaupt ein Laplace Raum ist (sonst wäre mein Lösungsansatz 1 falsch). Ich tendiere zu meiner ersteren Lösung, da sie mir intuitiv richtiger vorkommt (was aber bei W-Keiten nichts zu bedeuten hat). LaTeX-Tags ergänzt. Steffen |
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| 24.08.2016, 17:45 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Modell 2) ist richtig - Erläuterung siehe z.B. hier. EDIT: Da hab ich was übersehen in deinem Text:
Diese Wahrscheinlichkeit stimmt nur für das erste Ergebnistupel (1,2,3,4,5). Beim zweiten Tupel muss berücksichtigt werden, dass einige Augenzahlen mehrfach vorkommen (Stichwort: Permutationen mit Wiederholung), für (2,2,2,3,3) bedeutet das die Wahrscheinlichkeit . |
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| 24.08.2016, 18:29 | KaterGererg2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke! Eine kurze Nachfrage noch wegen der Unterscheidbarkeit: Wenn ich jetzt exakt gleich aussehende Würfel nehme, aber a) sie nebeneinander werfe, sodass der Würfel, den ich links geworfen habe, auch links bleibt, der daneben auch daneben bleibt, etc. und dann mein Tupel von links nach rechts aufschreibe b) sie würfle und dann nach Größe sortiere, und dann mein Tupel aufschreibe Dann wäre Experiment a) "unterscheidbar", weil ich die zufällige Ordnung der Würfel nicht anfasse und b) "nicht unterscheidbar", weil ich die Würfel sozusagen ihres Zufalls in der Anordnung entledige? Heißt das allgemeiner gesprochen: Immer wenn ich einem aus mehreren Zufallsobjekten bestehenden Experiment am Ende eine von mir bestimmte, nicht zufällige, Ordnung aufzwinge, dann ist das Experiment "nicht unterscheidbar"? |
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| 24.08.2016, 18:45 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
"Unterscheidbar" bzw. "nicht unterscheidbar" ist lediglich ein Etikett, das keinen Einfluss auf das eigentliche originale Wurfergebnis hat: Es macht am Ende wahrscheinlichkeitsmäßig keinen Unterschied, ob du optisch unterscheidbare oder ununterscheidbare fünf Würfel aufsteigend nach der Größe der Augenzahlen sortierst. Es ist eben nur so, dass man einem aufsteigend geordneten Wurfergebnistupel wie (1,2,2,4,6) nicht ansehen kann, ob es im Original (2,1,4,6,2) oder (4,2,6,2,1) usw. war - dennoch ändert es die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsverteilung der Originale nicht. |
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| 24.08.2016, 19:22 | KaterGererg3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, die Sortierung meinerseits passiert erst nach dem Experiment, und hat damit keinen Einfluss auf die Würfel und ihre Verteilung, verstanden. "unterscheidbar" und "nicht unterscheidbar" passieren also aufgrund des Experimentaufbaus. Das heißt dann also: Wenn ich eine Verknüpfung mehrerer Zufallsobjekte in einem Tupel zusammenfasse (wie z.B. hier mit den Würfeln) und dann irgendwie mit Laplace-Annahmen weiterrechnen will, dann muss ich "mit Reihenfolge" (d.h. "unterscheidbar") wählen (falls ich keine Symmetrie an die "ohne Reihenfolge" Ergebnisse fordern will)? Sprich, "ohne Reihenfolge" ist effektiv für Wahrscheinlichkeitsberechnungen nach dem Motto vorerst irrelevant? Falls ja: Müsste man dann die W-Keit, dass einen Sechser in Lotto zu haben sogesehen, wenn man nicht von Symmetrie der Lottoergebnisse ausgehen will, auch über den Umweg "Urnenziehung von 6 aus 49, mit Reihenfolge, ohne Wiederholung" rechnen, also (g sei das Ereignis "Ich habe gewonnen"): |
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| 24.08.2016, 19:31 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genaugenommen ja. Allerdings ist es bei solchen Szenarios "Ziehen ohne Zurücklegen" letztendlich dann doch egal, ob man das mit oder ohne Ziehungsreihenfolge betrachtet - hier sind tatsächlich beide Modelle als Laplace-Räume verwendbar, wie deine Rechnung ja auch zeigt. Der Grund dafür ist, dass sämtliche Ergebnistupel aufgrund der Verschiedenheit der Komponenten jeweils dieselbe Permutationszahl aufweisen, hier beim Lottobeispiel jeweils 6!=720. Beim Mehrfachwürfeln haben wir dagegen "Ziehen mit Zurücklegen" (wobei mit Zurücklegen dabei das Zurücklegen einer eben gewürfelten Augenzahl in den Pool der möglichen Augenzahlen gemeint ist - der bleibt also immer {1,2,3,4,5,6} und verringert sich nicht 
). Hier haben wir - je nach Mehrfachvorkommen einzelner Elemente - verschiedene Permutationszahlen, siehe oben der Vergleich von (1,2,3,4,5) und (2,2,2,3,3). |
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| 24.08.2016, 19:48 | KaterGererg4 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ahhh, danke! Du hast mir den Heureka!-Moment des Tages verpasst. Ich hatte "Symmetrie", "Reihenfolge" und "Zurücklegen" in meinem Kopf noch nie als so eindeutig zusammenhängend betrachtet. Da lag bei mir der Fehler 
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| 24.08.2016, 20:06 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Freut mich, wenn ich ein wenig Licht ins Dunkel gebracht habe, d.h., zum besseren Verständnis der Zusammenhänge zumindest etwas beitragen konnte.
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