Hermitesch ja/nein

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The Operator Auf diesen Beitrag antworten »
Hermitesch ja/nein
Ein Operator heisst hermitesch g.d.w. . Dabei ist die Transponierte und komplex konjugierte (dargestellte?) Matrix zu , also

Frage:
Hallo, ich möchte herausfinden ob der Operator hermitesch ist wobei und die imaginäre Einheit ist. In meiner Frage wird nicht angegeben aus welcher Menge das Symbol ist... auch in meinem Skript steht dazu leider nichts.

Idee:
Ich vermute ich kann/darf den Operator als ein Element aus also ein "skalar" auffassen (oder sagt man dazu "darstellen"?).

Dann wäre meine Behauptung dass nicht hermitesch ist, da .

Stimmt das so? smile

PS:
Ich habe diese Frage schon im Physik-Forum gestellt. Hab gerade bescheid gesagt dass ich die jetzt nochmal weiter leiten werde. Big Laugh Zur Info: Bin ein Physik-Studierender im Grundstudium. Meine Mathematisches Wissen ist (wahrscheinlich) verglichen mit einem Mathematiker nicht sehr umfangreich. Viele der Objekte die (vermute ich) in Veranstaltungen wie z.B. Funktionalanalysis, Darstellungstheorie oder Algebra definiert werden sind mir eigentlich unbekannt... ich versuche halt mein Bestes zu geben mit den Eigenschaften die ich hier oder da mal aufgeschnappt habe.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Bekanntlich ist eine Matrix A hermitesch, wenn für für alle Vektoren gilt



Das bedeutet: Im Skalarprodukt ist es also egal, ob die Matrix A auf den ersten Faktor oder auf den zweiten Faktor wirkt. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Matrix A mit ihrer konjugierten Transponierten übereinstimmt.
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In Funktionenräumen ist es ähnlich. Hier ist das Skalararprodukt ein Integral. Um zu beweisen, dass der Differenzialoperator hermitisch ist, muss gezeigt werden, dass es auch hier egal ist, ob der Operator auf den ersten oder zweiten Faktor wirkt, also



Zum Beweis formen wir den Integranden auf der linken Seite mit der Produktregel um gemäß



Einsetzen in das Integral auf der linken Seite liefert



Das erste Integral auf der linken Seite verschwindet, weil die Funktionen x(t) und y(t) am Rand verschwinden (=Randbedingung). Damit ist die Hermitezität des Operators bewiesen.
The Operator Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen vielen Dank für diese detaillierte und hilfreiche Antwort!!!

Ich versuche das nochmal zu re­ka­pi­tu­lie­ren um zu sehen ob ich das richtig verstanden habe.

Also zuerst einmal stelle ich fest dass so wie es scheint aus einem sogenannten Funktionenraum ist. Dieser Funktionenraum ist nachdem ich Wikipedia bemüht habe, wohl anscheinend ein Vektorraum, dessen Elemente Funktionen sind, die alle die gleiche Definitions- und Bildmenge haben.

In deinem Beispiel hast du folgendes Skalarprodukt benutzt:

Seinen ,
mit (I= Indexmenge) glatte Funktionen so sei
das Skalarprodukt.
(Skalarmultiplikation und Addition sind jetzt erstmal nicht so wichtig...)

In unserer Vorlesung (Quantenmechanik) ist folgendes Skalarprodukt (in "Physiker-Notation") für Funktionen aufgetaucht:

,
glatt.



Weiter stelle ich fest, dass "meine" Definition von hermitesch wohl anscheinend nicht ganz korrekt oder allgemein ist. Womöglich gilt diese nur im Fall von Matrizen... Deshalb hast du auch sicherlich nochmal "deine" Definition aufgeführt.

Nun müsste ich also um zu zeigen dass der Operator nicht hermitesch ist die Eigenschaft überprüfen, richtig?

Also tun wir dass mal:

Ich addieren erstmal mit Null... mal sehen was passiert:





und dann bilde ich das Integral:





.... Jetzt müsste ich ziegen dass das Integral F verschieden von Null ist, oder?.... Leider weiß ich nicht wie ich das machen soll... kann mir jemand weiter helfen? smile
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Definition der Hermitezität war nur für Matrizen korrekt. Im Allgemeinen sollte man die Hermitezität jedoch mit Hilfe des Skalarproduktes wie folgt definieren: Ein Operator (also auch eine Matrix) ist hermitesch, wenn für beliebige Vektoren gilt

.

Speziell in einem Funktionenraum sind die Vektoren Funktionen. Dann ist das Skalarprodukt ein Integral. Folglich ist hier der Diffenezialoperator hermitesch, wenn gilt



Du willst zeigen, dass der Operator nicht hermitisch ist. Zu zeigen ist also folgendes



Zum Beweis formen wir den Integranden auf der linken Seite mit der bekannten Produktregel um



Speziell setzen wir für die 3 Funktionen u, v, w folgendes ein: und und . Damit kann man für den Integranden auf der linken Seite schreiben



Dies setzen wir für den Integranden auf der linken Seite ein und erhalten dort 3 Integrale



Das 1.Integral verschwindet, weil die Funktionen am Rande verschwinden (=Randbedingung). Die beiden anderen Integrale ordnen wir etwas um



Da der Störterm i.A. nicht verschwindet, ist die Hermitezität nicht erfüllt.
The Operator Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr! Freude

Ich habe soweit alles verstanden ... bis auf ein Argument:

1.) Warum ist der "Störterm" gleich Null? D.h. Was meinst du genau mit "Randbedingungen"?

[ Zur Info: Ich kenne leider nur Riemann'sche Integrale. :/ ]

PS: Hätte man die Aufgabe auch lösen können indem man ein Beispiel angibt bei dem die Hermitizität nicht gegeben ist?

Z.B.:





The Operator Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe versehentlich die komplexe Konjugation bei den SP-Integralen vergessen... sorry.
 
 
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Deine 1.Frage:
Warum verschwindet der Störterm ?

Antwort:
Ein Elektron ist kein Punkt, sondern ein räumlich ausgedehntes Objekt, welches durch eine sogenannte "Wellenfunktion" beschrieben wird. Diese Wellenfunktion enthält alle Informationen über das Elektron (z.B. Dichteverteilung, Energieverteilung, Geschwindigkeitsverteilung...) Die räumliche Dichteverteilung im Elektron ist z.B. das reelle Betragsquadrat . Wenn man ein Elektron in einem Behälter einsperrt, so ist aus physikalsichen Gründen dessen Dichte an den Behältergrenzen stets Null. Das Elektron konzentriert sich also im Inneren des Behälters. Deshalb muss die Wellenfunktion an den Behältergrenzen verschwinden. Das ist die Randbedingung! Deshalb verschwindet der Störterm . Der Integrand ist nämlich eine vollständige Ableitung , dessen Stammfunktion man sofort hinschreiben kann. Setzt man in diese Stammfunktion die Integrationsgrenzen ein, verschwindet alles aufgrund der o.g. Randbedingung.

Deine 2.Frage:
Hätte man die Aufgabe auch lösen können, indem man ein Beispiel angibt, bei dem die Hermitezität nicht gegeben ist?

Antwort:
Diese Frage verstehe ich nicht, denn in meinem letzten Beitrag habe ich gezeigt, dass die Hermitizetät für den gegebenen Operator gerade nicht gilt.
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Wichtig ist folgendes:
Wenn ein Operator hermitesch ist, so bedeutet das, dass für alle Funktionen und gilt



Du darfst dir also nicht ein einige Funktionen herauspicken. Die Hermiteszität ist eine Eigenschaft des Operators und muss für alle Funktionen gelten.
The Operator Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank,

damit hätte ich die Aufgabe vollständig verstanden. smile

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Bei der "2-ten Frage" meinte ich so ein alternatives Lösungsschema:

Behauptung:
Die Aussage: "Für alle Elemente E aus einer Menge M gilt die Eigenschaft A." ist nicht wahr.

Beweisidee:
Finde mindestens ein konkretes Element E aus der Menge M für die die Eigenschaft A nicht gilt.
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