Zeige die Ungleichung mit Hilfe des Mittelwertsatzes

24.08.2016, 18:39	klias	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige die Ungleichung mit Hilfe des Mittelwertsatzes Ich soll folgende Ungleichung mit dem Mittelwertsatz zeigen: $\begin{eqnarray} \alpha > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\alpha}{(1+x)^{\alpha+1}}<\frac{1}{x^{\alpha}} - \frac{1}{(1+x)^{\alpha}} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x > 0 \end{eqnarray}$ Ich habe angefangen mit dem Intervall $\begin{eqnarray} [0, x] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f := \frac{\alpha}{(1+x)^{\alpha+1}} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f'(\epsilon) = \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{\frac{\alpha}{(1+x)^{\alpha+1}} - a}{x}= -\frac{\alpha^2 + \alpha}{(1+\epsilon)^{\alpha+2}} < -\frac{\alpha^2 + \alpha}{(1+x)^{\alpha+2}} \end{eqnarray}$ durch weiters umformen komme ich dann auf: $\begin{eqnarray} \frac{1}{x}-\frac{1}{x(1+x)^{\alpha}} > \frac{\alpha}{(1+x)^{\alpha+1}} \end{eqnarray}$ Und hier fahre ich mich in eine Sackgasse. Ich freue mich auf eure Antworten
24.08.2016, 19:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde eher $\begin{align} f(t) = -\frac{1}{t^{\alpha}} \end{align}$ betrachten und dann den MWS auf das Intervall $\begin{align} [x,1+x] \end{align}$ anwenden.
24.08.2016, 19:11	klias	Auf diesen Beitrag antworten »
Manchmal wäre es so einfach danke dir

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »