Autokorrelationssatz / Betragsquadrat einer Fouriertransformierten

24.08.2016, 18:59	hoenich	Auf diesen Beitrag antworten »
Autokorrelationssatz / Betragsquadrat einer Fouriertransformierten Meine Frage: Die Funktion (X[i Omega])^2 = (1 + 1.1e^(-2 i omega) - 0.1e^(-3 i omega))^2 soll als Summe von Sinus- und Cosinusfunktionen dargestellt werden. Das Ergebnis lautet 1 + 1.1^2 + 0.1^2 - 2 (0.11cos(omega)-1.1cos(2omega)+0.01cos(3omega)) Mir fehlen die Umformungen, um auf das Ergebnis zu kommen. Meine Ideen: Das quadrieren ist kein Problem ich bekomme dann allerdings 5 Summanden, die e^(-2 omega) bis e^(-6 omega)enthalten. Ich weiß nicht wie ich das Ganze umformen soll, um auf die Terme im Kosinus aus dem Ergebnis zu kommen, sprich omega 2omega 3omega.
25.08.2016, 10:47	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du willst folgende Funktion durch die Winkelfunktionen sin(...) und cos(...) ausdrücken $\begin{eqnarray} X^2(i\omega)=[1+1,1e^{-2i\omega}-0,1e^{-3i\omega}]^2 \end{eqnarray}$ Benutze die bekannte Formel $\begin{eqnarray} e^{-ni\omega}=\cos(n\omega)-i\cdot \sin(n\omega) \end{eqnarray}$
25.08.2016, 15:07	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein wenig stutzen lässt mich, dass das Ergebnis reell sein soll. Geht es dann nicht doch eher um $\begin{align} \left\|1+1.1e^{-2i\omega}-0.1e^{-3i\omega}\right\|^2 \end{align}$ statt um $\begin{align} \left[1+1.1e^{-2i\omega}-0.1e^{-3i\omega}\right]^2 \end{align}$ ? Nachtrag: Ok, verbal in der Überschrift versteckt steht es so.

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