Quadratische, komplexe Gleichung

24.08.2016, 20:38

willyengland

Quadratische, komplexe Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^2 + (1+i)x-2(1-i)=0 \end{eqnarray*}$

pq-Formel:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1+i}{2} \pm \sqrt{(\frac{1+i}{2})^2+2(1-i)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1+i}{2} \pm \sqrt{2-1,5i} \end{eqnarray*}$

Und wie jetzt weiter?
Oder anders? verwirrt

24.08.2016, 20:49

10001000Nick1

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Bis hierhin alles richtig. Jetzt musst du also noch die beiden komplexen Zahlen berechnen, deren Quadrat gleich $\begin{eqnarray*} 2-1,5i \end{eqnarray*}$ ist. Rechne dazu $\begin{eqnarray*} 2-1,5i \end{eqnarray*}$ in die Polarform um.

24.08.2016, 22:00

willyengland

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Das muss aber ohne Polarform gehen.
Die kam nämlich in dem Buch noch nicht dran.
Es wurden nur die 4 Grundrechenarten mit komplexen Zahlen durchgeführt.

24.08.2016, 22:34

Mathema

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$\begin{eqnarray*} (\frac{1+i}{2})^2+2(1-i)=\frac{1+2i+i^2+8-8i}{4}=\frac{9-6i+i^2}{4} \end{eqnarray*}$

24.08.2016, 23:24

HAL 9000

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Bzw. allgemein geht das so: Algebraische Darstellung der komplexe Quadratwurzel, d.h. ohne Umweg über die Polardarstellung

25.08.2016, 08:49

willyengland

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Zitat:

Original von Mathema
$\begin{eqnarray*} (\frac{1+i}{2})^2+2(1-i)=\frac{1+2i+i^2+8-8i}{4}=\frac{9-6i+i^2}{4} \end{eqnarray*}$

Sehr schön!
Ich hatte das $\begin{eqnarray*} i^2 \end{eqnarray*}$ schon zusammengefasst mit 9.
Dann sieht man das nicht mehr.

So bekommt man die Lösungen:

$\begin{eqnarray*} x_1 = 1-i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2= -2 \end{eqnarray*}$

Danke auch an HAL für die Formel. Kommt das selbe raus! smile

So, und nachdem wir das haben, möchte ich natürlich auch die Methode mit den Polarkoordinaten lernen.
Wie muss ich da vorgehen?

25.08.2016, 08:53

Steffen Bühler

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Da hilft ein Blick in unseren [WS] Komplexe Zahlen

Viele Grüße
Steffen

25.08.2016, 09:29

willyengland

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Also ich soll ja 2-1,5i in Polarkoordinaten umrechnen.

Ich bekomme:

$\begin{eqnarray*} r = 2,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi=36,8... \end{eqnarray*}$

Daraus könnte ich dann auch eine Wurzel ziehen, aber das gibt sehr krumme Werte.

25.08.2016, 09:39

Steffen Bühler

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Der Winkel stimmt noch nicht. Ansonsten kann es im Polaren krumm sein, im Kartesischen wird's dann schon wieder glatt.

25.08.2016, 10:01

willyengland

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Ja, Minus. $\begin{eqnarray*} \phi= - 36,8... \end{eqnarray*}$

Ich könnte das jetzt durchrechnen, aber ich sehe noch nicht den Vorteil , das mit Polarkoordinaten zu machen. Man bekommt dann doch auch Rundungsfehler.

25.08.2016, 10:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Ansonsten kann es im Polaren krumm sein, im Kartesischen wird's dann schon wieder glatt.

Letzteres natürlich nur in Fällen, wo es so schön "aufgeht" wie hier. Denn ob man z.B.

$\begin{align*} \sqrt{4+2i} = \pm\left( \sqrt{\sqrt{5}+2} + i\sqrt{\sqrt{5}-2} \right) \end{align*}$

als glatt bezeichnen kann, ist Ansichtssache. smile

25.08.2016, 10:25

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von willyengland
$\begin{eqnarray*} \phi= - 36,8... \end{eqnarray*}$

Grad, Willy, Grad. Wir sind hier immerhin im Matheboard. Ohne Gradzeichen ist's Bogenmaß.

Zitat:

Original von willyengland
ich sehe noch nicht den Vorteil , das mit Polarkoordinaten zu machen.

In fast allen Fällen kommt im Kartesischen eben auch nichts Glattes raus, wie HAL ja auch schon angemerkt hat. Außerdem ist es bei höheren Wurzeln bequemer, weil man ja für die weiteren Lösungen nur die Phase weiterdrehen muss.

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