Fehlerfortpflanzungsrechnung - hier notwendig oder nicht?

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Biologist Auf diesen Beitrag antworten »
Fehlerfortpflanzungsrechnung - hier notwendig oder nicht?
Hallo,

ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich den "Fehler" bzw. die Variabilität eines neuen Parameters, der aus zwei anderen Parametern hervorgeht, berechne. Das Wort "Fehler" habe ich in Anführungszeichen gesetzt, weil es sich hierbei nicht um einen Fehler handelt, der auf der begrenzten Genauigkeit der Messungen beruht, sondern vielmehr um eine biologische Schwankungsbreite.

Ich habe Daten bestehend aus 12 gepaarten Datensätzen x1 bis x12 und y1 bis y12, d.h. x1 gehört zu y1, x2 zu y2, etc. Der neue Parameter z ist die Differenz von x und y, also z = x-y.

Der neue Datensatz berechnet sich also nach:
x1-y1 = z1
x2-y2 = z2

x12-y12 = 12

Der Datensatz x besitzt eine bestimmte Standardabweichung x und der Datensatz y besitzt eine bestimmte Standardabweichung y. Ich möchte nun den „Fehler“ bzw. die Standardabweichung auch für den neuen Datensatz z1 bis z12 angeben.

Hierbei stellt sich mir die Frage:
Berechnet sich bei diesen gepaarten Daten der neue "Fehler" (Variabilität) von z einfach aus den neuen Einzelwerten z1 bis z12 als deren Standardabweichung oder nach den Regeln der Gaußschen Fehlerfortpflanzung, also in diesem Fall als die Quadratwurzel der Summe der "Fehler"/Variabilitäten der Parameter x und y, aus denen der neue Parameter z berechnet wurde? Die beiden Werte unterscheiden sich nämlich nicht unwesentlich.

Zur Veranschaulichung habe ich zusätzlich eine Excel-Beispiel-Tabelle angehängt.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehlerfortpflanzungsrechnung - hier notwendig oder nicht?
Willkommen im Matheboard!

Offenbar sind Deine Wertepaare nicht unabhängig voneinander. Nur dann gilt nämlich der Satz, dass sich die Varianzen addieren.

So aber gibt es eine Kovarianz, deren doppelter Wert von der Varianzsumme abzuziehen ist. Und dann ergibt sich auch die erwartete Standardabweichung.

Viele Grüße
Steffen
Biologist Auf diesen Beitrag antworten »

Danke fürs Willkommenheißen. Wink

Ist diese Regel eine Variante der Fehlerfortpflanzungsformel oder wie komme ich auf diese Formel?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte es als Variante bezeichnen. Mehr z.B. hier.
Biologist Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Link. Habe auch noch in Wikipedia nach Stichprobenkovarianz geschaut und hiernach die Kovarianz in mehreren Schritten berechnet.

Dann die Varianzsumme von x und y berechnet und hiervon die doppelte Kovarianz abgezogen. Unter der Annahme, dass das Ergebnis die Varianz ist, zuletzt noch die Quadratwurzel gezogen, um wieder die Standardabweichung zu erhalten. Das Ergebnis lautet 2,0 für meine Beispieldaten. Ich bin mir aber nicht ganz sicher, ob ich die Berechnungen in Excel alle korrekt durchgeführt habe. Darum habe ich die Excel-Tabelle entsprechend erweitert und erneut hier angehängt. Wäre dankbar, wenn jemand drüberschauen könnte, ob das so stimmt.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Da es eine Stichprobe ist, musst Du in Schritt 4 durch die um Eins verminderte Anzahl dividieren, dann stimmt's.

Abgesehen davon hättest Du mit

code:
1:
KOVARIANZ.S(B2:B13;D2:D13)
auch Excel für Dich arbeiten lassen können. smile

Viele Grüße
Steffen
 
 
Biologist Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, vielen Dank fürs Durchsehen und die Fehlersuche!

Stimmt, das hätte ich in der Tat deutlich einfacher haben können. Hammer
Nun weiß ich, dass ich die Kovarianz auch in Excel sehr einfach berechnen kann. Da habe ich Excel wohl unterschätzt. Augenzwinkern
Biologist Auf diesen Beitrag antworten »

Und mit der von dir genannten Korrektur komme ich dann genau auf das gleiche Ergebnis wie wenn ich einfach die Standardabweichung aus den neu berechneten Einzelwerten z1 bis 12 berechne.

Heißt das, ich kann mir in solchen Fällen wie diesem hier die doch etwas umständlichere Fehlerfortpflanzungsrechnung sparen und einfach die neue Standardabweichung basierend auf den neuen Einzelwerten berechnen?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Biologist
Heißt das, ich kann mir in solchen Fällen wie diesem hier die doch etwas umständlichere Fehlerfortpflanzungsrechnung sparen und einfach die neue Standardabweichung basierend auf den neuen Einzelwerten berechnen?


Mathematisch gesehen ja. Es kann höchstens sein, dass irgendjemand eine ausführliche Fehlerrechnung haben möchte, weil er sehen will, dass Du's kannst. Meistens haben diese Leute Professorentitel. smile
Biologist Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, gut zu wissen. Big Laugh

Ich glaube, es wird langsam Zeit, dass ich mein etwas betagtes Excel 2007 mal upgrade. Unter Excel 2007 gibt es nämlich nur eine Berechnungsfunktion für die Kovarianz der Gesamtpopulation anstelle die der Stichprobe.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Biologist
Unter Excel 2007 gibt es nämlich nur eine Berechnungsfunktion für die Kovarianz der Gesamtpopulation anstelle die der Stichprobe.


Wahrscheinlich haben die Entwickler gedacht, dass sie sich die Stichproben-Kovarianz sparen können, weil die Leute ja schließlich wissen sollten, dass die sich nur um den Faktor unterscheidet... Teufel
Biologist Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das stimmt auch wieder. Augenzwinkern Die Umrechnung ist ja eigentlich recht einfach.
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