Wegintegral Kurven parametrisieren

25.08.2016, 18:21

p3l4h0

Wegintegral Kurven parametrisieren

Ich soll mit Hilfe einer Stammfunktion das Wegintegral direkt berechnen.
$\begin{eqnarray*} \int_c z^3+4dz \end{eqnarray*}$ entlang des Wefes von 1-i nach 1+i
Und ich komme nicht auf die Kurvenparametrisierung:
$\begin{eqnarray*} c(t)=2it +1 -i \end{eqnarray*}$

Wegvorstellung:

http://imageshack.com/a/img921/7248/988L0X.png

Vektorschreibweise irgendwie
x(t)= a * t * cos (t)
y(t)= a * t * sin(t)

25.08.2016, 18:46

p3l4h0

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soweit bin ich schon nur komme ich nicht auf die eindimensionale Darstellung:
$\begin{eqnarray*} g(x): \vec{x} =\begin{pmatrix} 1\\ -i \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\ i \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1+1t\\ -i+it \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x(t)\\ y(t) \end{pmatrix}= \alpha (t) \end{eqnarray*}$

26.08.2016, 07:48

Huggy

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RE: Wegintegral Kurven parametrisieren

Zitat:

Original von p3l4h0
Ich soll mit Hilfe einer Stammfunktion das Wegintegral direkt berechnen.
$\begin{eqnarray*} \int_c z^3+4dz \end{eqnarray*}$ entlang des Wefes von 1-i nach 1+i
Und ich komme nicht auf die Kurvenparametrisierung

Da du das Integral mit einer Stammfunktion berechnen sollst, brauchst du keine Kurvenparametrisierung. Du brauchst nur die Endpunkte der Kurve und die sind gegeben.

26.08.2016, 09:40

p3l4h0

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Ich dachte es geht dann über die Formel:
$\begin{eqnarray*} \int_{C} f(z) dz =\int_{a}^{b} f(c(t))\dot{c}(t) dt \end{eqnarray*}$
und hier mit der Kurvenparametrisierung:
$\begin{eqnarray*} c(t)=2it+1-i, \ 0<=t<=1 \ \rightarrow \dot{c}(t) dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{c} z^3 + 4 \ dz = \int_{0}^{1} ((c(t))^3+4)\dot{c}(t) dt = \int_{0}^{1} ((2it+1-i)^3 +4) 2i \ dt \end{eqnarray*}$
und hier komme ich nicht auf das aus der Aufgabenstellung geforderte c(t)
ich wüsste auch nicht wie ich s ohne die oben genannte Formel berechnen soll.

26.08.2016, 09:56

Huggy

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Du weißt doch hoffentlich im Reellen, was eine Stammfunktion bzw. ein unbestimmtes Integral ist. Im Komplexen ist das genau so.
Also bestimme die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f(z)=z^3+4 \end{eqnarray*}$ .

Man kann das Integral auch als Kurvenintegral berechnen. Das ist aber umständlicher und laut erstem Satz der Aufgabe nicht gefordert. Da die Parametrisierung einer Kurve schon gegeben ist, verstehe ich nicht, was du damit meinst, du kommst nicht auf die Parametrisierung.

26.08.2016, 10:15

p3l4h0

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Die Aufgabe ist:
Man berechne direkt und mit Hilfe der Stammfunktion
$\begin{eqnarray*} \int_{c} z^3+4 \ dz \end{eqnarray*}$ entlang eines geradlinigen Weges von 1-i nach 1+i
mehr ist nicht gegeben, der rest ist Lösung.

Und da nutzen sie die Formel: $\begin{eqnarray*} \int_{C} f(z) dz =\int_{a}^{b} f(c(t))\dot{c}(t) dt \end{eqnarray*}$ bei der direkten Lösung.
Die Lösung mit Hilfe der Stammfunktion habe ich verstanden.

(Habe erst jetzt verstanden, dass es 2 Wege sind, da in der Lösung nur die direkte Lösung mit Hilfe der Kurvenparametrisierung angegeben ist)
Mit der Stammfunktion komme ich auf die gleiche Lösung wie über die direkte.
$\begin{eqnarray*} \int_{C} z^3+4dz=\int_{1-i}^{1+i} z^3+4dz=(\frac{(1+i)^4}{4}-\frac{(1-i)^4}{4} + 4(1+i-(1-i))=8i \end{eqnarray*}$

Trotzdem würde ich gerne noch die direkte verstehen

26.08.2016, 10:20

Huggy

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Zitat:

Original von p3l4h0
Trotzdem würde ich gerne noch die direkte verstehen

Was genau verstehst du da nicht? Du hast doch oben alles korrekt hingeschrieben:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{c} z^3 + 4 \ dz = \int_{0}^{1} ((c(t))^3+4)\dot{c}(t) dt = \int_{0}^{1} ((2it+1-i)^3 +4) 2i \ dt \end{eqnarray*}$

Jetzt muss du das Integral halt ausführen.

26.08.2016, 10:41

p3l4h0

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ich komme nicht auf $\begin{eqnarray*} c(t)=2it+1-i \end{eqnarray*}$ das steht nur in der Lösung.

26.08.2016, 10:54

Huggy

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Du siehst doch zumindest, dass du für $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t=1 \end{eqnarray*}$ auf die gegeben Endpunkte des Wegs kommst. Da außer durch die gegebene Parametrisierung in der Aufgabe nichts über den zu betrachtenden Weg gesagt ist, kannst du aus den sonstigen Angaben auch nicht auf die gegebene Wegparametrisierung kommen. Oder hast du hier etwas aus dem Aufgabentext unterschlagen?

Die gegebene Wegparametrisierung beschreibt einen Weg, der die Endpunkte geradlinig verbindet. Es gibt in der komplexen Ebene aber beliebig viele andere Wege zwischen den gegebenen Endpunkten. Die hätten natürlich andere Parametrisierungen. Und selbst die gerade Verbindung zwischen den Endpunkten kann auf beliebig viele Weisen parametrisiert werden.

26.08.2016, 11:08

p3l4h0

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auf die geradlinige Parametrisierung möchte ich ja gerne kommen.
Oder kann eine andere Parametrisierung c(t) auch einen direkten geradlinigen Weg beschreiben, so dass ich am Ende auf ein anderes Ergebnis komme ?

Das für mich zu schließende Fazit wäre in dem Fall wenn keine Parametrisierung gegeben ist kann ich nicht auf das Ergebnis kommen ohne den Weg über die Stammfunktion zu nehmen ?

26.08.2016, 11:29

Huggy

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Zitat:

Original von p3l4h0
auf die geradlinige Parametrisierung möchte ich ja gerne kommen.

Eine geradlinige Verbindung zweier Punkte $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ kann immer durch die Parametrisierung

$\begin{eqnarray*} z(t)=z_1+t(z_2-z_1) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} t \in [0,1] \end{eqnarray*}$ . beschrieben werden. Das führt zu der gegebenen Parametrisierung.

Zitat:

Oder kann eine andere Parametrisierung c(t) auch einen direkten geradlinigen Weg beschreiben

Ja natürlich. Zwei Beispiele für deine Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} z(t)=2it^2+1-i, \quad t \in [0,1] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z(t)=2i \sin t+1-i, \quad t \in [0,\pi/2] \end{eqnarray*}$

beschreiben denselben geradlinigen Weg.

Zitat:

so dass ich am Ende auf ein anderes Ergebnis komme ?

Nein. Das komplexe Kurvenintegral ist unabhängig von der Kurvenparametrisierung.

Zitat:

Das für mich zu schließende Fazit wäre in dem Fall wenn keine Parametrisierung gegeben ist kann ich nicht auf das Ergebnis kommen ohne den Weg über die Stammfunktion zu nehmen ?

So einfach ist nicht. Das komplexe Kurvenintegral ist zwar von der Wegparametrisierung unabhängig aber im allgemeinen nicht vom Weg selbst. Verschiedene Wege zwischen den gleichen Endpunkten können zu verschiedenen Ergebnissen führen.

Unter welchen Bedingungen das Kurvenintegral wegunabhängig ist, dürfte demnächst in eurer Vorlesung kommen. Bei deiner Aufgabe ist es wegunabhängig, weil die gegebene Funktion in der gesamten komplexen Zahlenebene holomorph ist.

26.08.2016, 11:44

p3l4h0

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Super vielen dank dann werde ich dass jetzt mal ein wenig in der Anwendung probieren

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