Eigenwerte

25.08.2016, 22:04	eigenname	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte Meine Frage: Hallo, ich hänge seit einer Weile an folgender Aufgabenstellung: sei V ein K-Vektorraum und F: V -> V linear. Zeigen sie: hat F^2 + F den Eigenwert -1, so hat F^3 den Eigenwert 1. Meine Ideen: bisher habe ich: (F^2+F)x = µx =-1x ich bin mir nicht sicher ob ich schreiben kann: (F^2)x+Fx=-1x => (F*F)x+Fx=-1x und hab auch sonst keine Idee wie es weiter gehen soll.
25.08.2016, 22:24	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, schau dir mal die Polynome X³-1 und X²+X+1 an.
25.08.2016, 22:50	eigenname	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe, dass es da einen Zusammenhang gibt aber ich habe keine Idee wie ich es nachweisen könnte. Da ich morgen früh schon meine Klausur schreibe wäre ich sehr dankbar wenn du mir etwas radikaler auf die Sprünge helfen könntes.
26.08.2016, 00:29	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Da tatmas anscheinend nicht da ist, mache ich einen anderen Vorschlag: Wende auf beide Seiten deiner Gleichung die Funktion F an.
26.08.2016, 01:05	eigenname	Auf diesen Beitrag antworten »
wie kann ich denn F anwenden? Falls du eine Lösung wissen solltest, wäre es aufgrund der zeitlichen Umstände sehr hilfreich für mich wenn du sie mir zeigen könntest.
26.08.2016, 01:12	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: eigenwerte $\begin{eqnarray} F((F^2+F)x)= F (-1x) \end{eqnarray}$ Und dann nur noch die Linearität von F ausnutzen.
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26.08.2016, 01:42	eigenname	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: eigenwerte ich glaube ich kann es zeigen, in dem ich sage µ^2+µ=-1=> µ^2=-µ-1 also ist µµµ = µ(-µ-1) = -µ^2-µ=-(µ^2+µ) = -(-1)=1 schwere Geburt. aber danke für den späten Beistand.
26.08.2016, 19:00	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: eigenwerte Und was soll dabei $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ sein? Oben war es dein Eigenwert und hier ist es eine komplexe Zahl, die die Gleichung $\begin{eqnarray} \mu^2+\mu=-1 \end{eqnarray}$ erfüllt? Dann ist deine Argumentation leider nicht sehr aufgabenbezogen. Richtig wäre es gewesen, die Gleichung $\begin{eqnarray} F^3(x)+F^2(x)= -F(x) \end{eqnarray}$ zu betrachten. Einfaches Umformen liefert dann die Aussage. Ähnlich wie deine Begründung, aber halt mit konkreterem Bezug zur Funktion F.

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