Warum ist 1/n für n = 0 unendlich?

26.08.2016, 14:17

jojo_x

Warum ist 1/n für n = 0 unendlich?

Meine Frage:
Ich bin gerade dabei noch etwas zu wiederholen und stehe momentan ein wenig auf dem Schlauch.

Meine Ideen:
Ich sehe ein, dass 1/n für n gegen unendlich gegen null geht aber, dass das gegen unendlich geht sehe ich nicht sofort. Ich habe einfach nur im Kopf, dass man durch Null nicht teilen darf und bei mir sofort rote Alarmglocken läuten Big Laugh

26.08.2016, 14:25

Gast2608

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RE: Warum ist 1/n für n = 0 unendlich?
Setze mal setze kleine Werte für n ein. z.B. 0,00000001.
Du darfst zwar Null selbst nicht einsetzen, aber sehr kleine Werte dicht an der Null.

26.08.2016, 14:27

10001000Nick1

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$\begin{eqnarray*} \frac 10=\infty \end{eqnarray*}$ ist völliger Blödsinn (auch wenn man das immer wieder liest).

Und auch der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ existiert nicht.
Man kann höchstens die rechts- und linksseitigen (uneigentlichen) Grenzwerte bilden:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow 0} \frac 1x=\infty, \lim_{x\nearrow 0} \frac 1x=-\infty \end{eqnarray*}$ .

Das siehst du z.B. an dem Graphen der Funktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto \frac 1x \end{eqnarray*}$ :

26.08.2016, 14:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von jojo_x
Warum ist 1/n für n = 0 unendlich?

Ist es nicht, dieser Quotient ist nicht definiert. unglücklich

Auch der Grenzwert $\begin{align*} \lim_{x\to 0} \frac{1}{x} \end{align*}$ existiert nicht, nicht mal uneigentlich (d.h. $\begin{align*} \infty \end{align*}$ oder $\begin{align*} -\infty \end{align*}$ ).

Erst bei einseitiger Grenzwertannäherung, z.B. von rechts, existiert es zumindest als uneigentlicher Grenzwert: $\begin{align*} \lim_{x\searrow 0} \frac{1}{x} = \infty \end{align*}$ .

Streng nach Definition bedeutet dies folgendes: Für jeden noch so großen Wert $\begin{align*} L \end{align*}$ findet man ein $\begin{align*} \delta>0 \end{align*}$ , so dass für alle $\begin{align*} x \end{align*}$ mit $\begin{align*} 0<x<\delta \end{align*}$ die Ungleichung $\begin{align*} \frac{1}{x} > L \end{align*}$ gilt.

Analog bedeutet der linksseitige uneigentliche Grenzwert $\begin{align*} \lim_{x\nearrow 0} \frac{1}{x} = -\infty \end{align*}$ , dass man für jeden noch so großen Wert $\begin{align*} L \end{align*}$ ein $\begin{align*} \delta>0 \end{align*}$ findet, so dass für alle $\begin{align*} x \end{align*}$ mit $\begin{align*} -\delta < x <0 \end{align*}$ die Ungleichung $\begin{align*} \frac{1}{x} < -L \end{align*}$ gilt.

26.08.2016, 15:42

willyengland

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Haben sich die Mathematiker eigentlich mal Gedanken gemacht, wie man dieses doch recht alltägliche Problem (Teilen durch Null: NICHT DEFINIERT!) loswerden könnte?

So als Laie von außen betrachtet, erscheint mir dieser Zustand irgendwie unschön.

26.08.2016, 15:54

HAL 9000

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Eigentlich mache ich mir mehr Gedanken darüber, wie man diesbezügliche Fragesteller loswird. Irgendwie habe ich in Erinnerung, dass du schonmal auf unsere diversen "durch 0 teilen"-Threads hingewiesen wurdest - aber vielleicht spielt mir da auch die Hitze einen Streich. Augenzwinkern

26.08.2016, 15:55

magic_hero

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Zitat:

Original von willyengland
Haben sich die Mathematiker eigentlich mal Gedanken gemacht, wie man dieses doch recht alltägliche Problem (Teilen durch Null: NICHT DEFINIERT!) loswerden könnte?

Erklär mal bitte, wo dir das Problem im Alltag (!) untergekommen ist verwirrt

Ansonsten: Ja, Mathematiker haben sich darüber schon vor langer Zeit Gedanken gemacht, im englischen Wikipedia-Artikel findet sich viel Material dazu. Übrigens wurde das Thema hier auch schon das ein oder andere Mal besprochen, z.B. in diesem Thread.

26.08.2016, 16:03

Guppi12

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Hallo willyengland,

für Mathematiker ist das Teilen eigentlich keine eigenständige Operation. Es ist das Multiplizieren mit dem multiplikativ inversen Element. Von daher verschiebt sich dieses Problem eher in eine andere Richtung: Warum hat die Null kein multiplikativ Inverses Element?

Hier verhält es sich so, dass man nicht einfach vergessen hat, ein solches zu definieren oder es noch nicht gefunden hat o.Ä., nein, das folgt bereits aus den Körperaxiomen, speziell braucht man, dass die Null additiv neutral wirkt, das heißt $\begin{eqnarray*} 0+a = a \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , das Distributivgesetz und dass man in Körpern additiv inverse Elemente finden kann, das heißt, zu jedem $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt es $\begin{eqnarray*} b\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a+b = 0 (= b+a) \end{eqnarray*}$ .

Da all diese Axiome wichtiger sind, als die Invertierbarkeit der Null, rechnen wir zumeist in Strukturen, wo die Null nicht invertierbar ist. Natürlich kann man sich andere Strukturen mit zwei Operationen bauen, in denen alle Elemente invertierbar sind, diese haben dann aber bei weitem nicht mehr so schöne Eigenschaften, wie ein Körper und sind für den Alltag daher nicht von Interesse.

26.08.2016, 16:28

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Guppi12
Natürlich kann man sich andere Strukturen mit zwei Operationen bauen, in denen alle Elemente invertierbar sind, diese haben dann aber bei weitem nicht mehr so schöne Eigenschaften, wie ein Körper und sind für den Alltag daher nicht von Interesse.

Da Du's nun mal schon hingeschrieben hast, bin ich vielleicht nicht der Einzige, den es (gerade in Schulmathe) interessiert: haben solche nichtalltäglichen Strukturen auch Namen? Und wo kann man da weiterlesen? Ich habe mal was von einer Riemannkugel gehört. Geht das in die Richtung?

Viele Grüße
Steffen

26.08.2016, 17:10

Guppi12

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Hi Steffen,

ein Beispiel für eine solche Struktur wäre etwa, wenn man auf einer Menge zwei verschiedene Gruppenstrukturen installiert, die aber beide nichts miteinander zu tun haben müssen, also keinerlei Gesetze für die Interaktion der beiden Operationen gelten. Sowas ist aber denke ich nicht von mathematischem Interesse, von alltäglichem Interesse ganz zu schweigen.

Tut mir Leid, ich denke das ist nicht, was du hören wolltest, vielleicht weiß einer unser Algebraiker etwas mehr darüber, das fällt in deren Gebiet Augenzwinkern

Ich selbst bin inzwischen rein in der Analysis unterwegs und dort haben die meisten Strukturen mit zwei Operationen, mit denen man sich befasst, eine abelsche Gruppe als Grundlage und es gilt das Distributivgesetz.

Die riemannsche Zahlenkugel, auf die du dich beziehst, wird soweit ich weiß meist nur als metrischer Raum betrachtet, also ohne Operationen darauf. Braucht man die Operationen dennoch, so zieht man sich meist auf die komplexen Zahlen zurück (die das gleiche sind, wie die Zahlenkugel ohne den Nordpol), definiert dort entsprechend und definiert zusätzlich noch eine Ausnahmeregel für den Nordpol der Zahlensphäre (den man auch mit $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ bezeichnet). Man könnte zwar einige Regeln für die Zahlenkugel definieren, die Sinn machen, zum Beispiel sowas wie $\begin{eqnarray*} z+\infty := \infty \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ aus der Zahlenkugel, $\begin{eqnarray*} z\cdot \infty = \infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z\neq 0 \end{eqnarray*}$ aus der Zahlenkugel, aber dort hat man dann auch nie, dass man zwei beliebige Elemente der Zahlenkugel miteinander verknüpfen kann. Zum Beispiel kann man $\begin{eqnarray*} 0\cdot\infty \end{eqnarray*}$ hier nicht sinnvoll definieren.

Gruß,
Guppi

26.08.2016, 17:12

jojo_x

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Herzlichen Dank! Darauf hätte ich auch kommen können. Mir hat wirklich der letzte Denkanstoß für das Verständnis gefehlt.

Ich soll den Wertebereich der Funktion (-x-5)/(2x +1) bestimmen. Die Definitionslücke liegt bei -0.5 und habe nun folgendes raus:

für x gegen +/- unendlich geht das ganze gegen -0.5
und bei der Definitionslücke je nachdem von welche Seite man sich nähert quasi gegen +/- unendlich

Wie schreibe ich meine Ergebnisse nun hübsch auf?

26.08.2016, 17:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von jojo_x
für x gegen +/- unendlich geht das ganze gegen -0.5
und bei der Definitionslücke je nachdem von welche Seite man sich nähert quasi gegen +/- unendlich

Dann fasse das mal alles zusammen: Welche reelle Zahlen können insgesamt als Funktionswert auftreten?

Oder einfacher: Welche reelle Zahlen können nicht als Funktionswert auftreten? Augenzwinkern

28.08.2016, 22:23

jojo_x

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Es geht von -0.5 bis unendlich und dann von minus unendlich wieder nach -0.5, wenn ich die x Achse entlang gehe, aber das hört sich für mich sehr komisch an ...

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