Potenzreihen Mittelpunkt und Konvergenzradius

26.08.2016, 14:43

leodavinci

Potenzreihen Mittelpunkt und Konvergenzradius

Meine Frage:
Ich habe drei Potenzreihen, bei denen ich jeweils den Mittelpunkt und den Konv.radius bestimmen soll.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{\sqrt{n2^n}}{(n+1)^6}z^n \sum\limits_{n=0}^{\infty} (3z)^{2n} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(z-7)^n}{n!} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Zu 1)
Der Mittelpunkt müsste doch 0 sein, da bloß $\begin{eqnarray*} z^n \end{eqnarray*}$ da steht.
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{r}=\limsup_{n \to \infty }\sqrt[n]{|\frac{\sqrt{n2^n}}{(n+1)^6}|}=\limsup_{n \to \infty } \frac{(n2^n)^{\frac{1}{2n}}}{(n+1)^{\frac{6}{n}}} =\limsup_{n \to \infty } \frac{n^{\frac{1}{2n}}\sqrt{2}}{(n+1)^{\frac{6}{n}}}=\sqrt{2} \Rightarrow r=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

Zu 2)
Hier steht das $\begin{eqnarray*} z^n \end{eqnarray*}$ ja nicht explizit da. Ich habe mal mit Umformen angefangen:
$\begin{eqnarray*} (3z)^{2n}=(3z)^2\cdot (3z)^n=9z^2 \cdot 3^n z^n \end{eqnarray*}$
Wie würde es denn jetzt weitergehen bzw. wie erkenne ich hier den Mittelpunkt.

Zu 3)
Der Mittelpunkt müsste doch 7 sein.
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{r}=\limsup_{n \to \infty }\sqrt[n]{\frac{1}{n!}}=\limsup_{n \to \infty }\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}=0 \Rightarrow r=\infty \end{eqnarray*}$

26.08.2016, 14:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von leodavinci
$\begin{eqnarray*} (3z)^{2n}=(3z)^2\cdot (3z)^n \end{eqnarray*}$

Falsch - schau dir die Potenzgesetze genau an:

Es gilt $\begin{align*} a^{b+c} = a^b\cdot a^c \end{align*}$ , nicht aber (wie du es hier "anwendest") $\begin{align*} a^{b\cdot c} \stackrel{???}{=} a^b\cdot a^c \end{align*}$ .

Was du hier brauchst, ist direkt $\begin{align*} (ab)^c = a^c\cdot b^c \end{align*}$ mit c=2n.

P.S.: 1) und 3) sind richtig.

26.08.2016, 14:58

leodavinci

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Potenzreihen Mittelpunkt und Konvergenzradius
Oh ja klar Hammer

Dann kommt man auf $\begin{eqnarray*} 3^{2n}\cdot z^{2n} \end{eqnarray*}$

Aber ich muss doch jetzt immer noch die 2 aus dem Exponent bei z bekommen oder?

26.08.2016, 15:51

HAL 9000

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Du hast abwechselnd die Koeffizienten $\begin{align*} 0 \end{align*}$ (für k=2n-1) sowie $\begin{align*} 3^{2n} \end{align*}$ (für k=2n) in deiner Potenzreihe $\begin{align*} \sum_k a_kz^k \end{align*}$ . Dafür ist ja das "sup" da im "limsup" von Cauchy-Hadamard:

$\begin{align*} \frac{1}{r} = \limsup_{k\to\infty} \sqrt[k]{|a_k|} \stackrel{!}{=} \limsup_{n\to\infty} \sqrt[2n]{|a_{2n}|} = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[2n]{3^{2n}} = 3 \end{align*}$

Hättest du aber auch einfacher haben können über das Quotientenkriterium. Oder überhaupt erkennen können, dass das eine geometrischen Reihe ist:

$\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} (3z)^{2n} = \sum_{n=0}^{\infty} \left((3z)^2\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} q^n \end{align*}$ mit $\begin{align*} q:=(3z)^2 \end{align*}$ .

26.08.2016, 16:34

leodavinci

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Potenzreihen Mittelpunkt und Konvergenzradius
Ok vielen Dank. Das mit der geom. Reihe war echt eine super Hilfe!

Nur noch eine kleine Frage dazu:
$\begin{eqnarray*} |(3z)^2|<1 (3z)^2<1 3z<\pm 1 z < \pm \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Doch eigentlich ist mein Konvergenzradius doch nur 1/3, da es ja keinen Sinn macht einen negativen (und einen postiven) Radius anzugeben, da es ja auf dasselbe herauskommt.

26.08.2016, 16:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von leodavinci
$\begin{eqnarray*} (3z)^2<1 3z<\pm 1 \end{eqnarray*}$

Richtiges Ungleichungsumformen will gelernt sein. Dieser Schritt ist jedenfalls falsch: Die Quadratwurzel von $\begin{eqnarray*} (3z)^2 \end{eqnarray*}$ ist nicht 3z, sondern $\begin{eqnarray*} |3z| \end{eqnarray*}$ . Die zweite Zeile muss also lauten

$\begin{eqnarray*} |3z| < 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |z| < \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Und so stimmt's nur für reelle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ - für komplexe $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ist bereits deine erste Ersetzung von $\begin{eqnarray*} |(3z)^2| \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} (3z)^2 \end{eqnarray*}$ falsch, und damit zu unterlassen. Das Endergebnis $\begin{eqnarray*} |z| < \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ stimmt dann auch für beliebige komplexe $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ .

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