Fehleranalyse Newton-Interpolation

26.08.2016, 16:33	Windphilip	Auf diesen Beitrag antworten »
Fehleranalyse Newton-Interpolation Meine Frage: Hallo zusammen, ich komme leider bei folgender Aufgabe nicht weiter: Gegeben ist die Funktion f(x)=cos(x)+1 auf dem Intervall I=[0,pi] Folgende Stützstellen sind gegeben: $\begin{eqnarray} x_{0}=0;x_{1}=\frac{\pi}{2} ;x_{2}=\pi \end{eqnarray}$ Nun soll ich eine Fehleranalyse durchführen und den Fehler dabei möglichst genau abschätzen. Der Wert muss kleiner sein als: $\begin{eqnarray} \frac{\pi ^{3} }{10} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \|f-p\|_{\infty} \leq sup_{\left[a,b\right]} \|\frac{w(x)f^{n+1}(\gamma(x))}{(n+1!)}\| \end{eqnarray}$ Bei der Aufgabe handelt es sich um eine Klausuraufgabe, in der keine Taschenrechner verwendet werden dürfen. Meine Ideen:* Und genau hier liegt mein Problem: Wenn ich das Knotenpolynom bilde und ableite um die Maximalwerte berechnen zu können, komme ich auf die Maximalstellen $\begin{eqnarray} \frac{\pi }{2} \pm \sqrt{\frac{\pi ^{2} }{12} } \end{eqnarray}$ Diese jetzt in die Gleichung des Knotenpolynoms einzusetzen scheint mir nur unter Zuhilfenahme eines Taschenrechners unter Zeitdruck möglich. Aber okay, probiere ich es mit dem Taschenrechner: Ich erhalte als Maximum des Knotenpolynoms den Wert 1,49. Wenn ich jetzt das ganze mit dem Maximums der dritten Ableitung der Funktion multipliziere (sin(x), welche maximal den Wert 1 erreicht und mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{(n+1!)} \end{eqnarray}$ , also 1/6 multipliziere, komme ich auf den maximalen Fehler von 0,2483. Als Kurzlösung ist folgendes angegeben: $\begin{eqnarray} \|f-p\| \leq \frac{1}{6}1\frac{\pi ^{3} }{12} \end{eqnarray}$ Ich versuche mir jetzt schon mehrere Stunden herzuleiten, wo mein Fehler liegt, aber ich komme hier einfach nicht mehr weiter. Ich würde mich freuen wenn mir jemand an dieser Stelle weiterhelfen könnte
27.08.2016, 13:29	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehleranalyse Newton-Interpolation Habe mal die Fehlerformel der Newtoninterpolation nachgeschlagen und komme zu dem gleichen Ergebnis wie du. Bei der angegebenen Lösung ist anscheinend ein Faktor $\begin{eqnarray} \sqrt 3 \end{eqnarray}$ im Nenner verloren gegangen.

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