Möglichkeiten der Anordnungen von Besuchern an Ständen |
| 26.08.2016, 19:30 | Mimamo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Möglichkeiten der Anordnungen von Besuchern an Ständen Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden nicht belegten Stände nebeneinander liegen und sich die Schausteller somit unterhalten können? Ok, meine Idee: Es handelt sich hierbei um ein Experiment mit Beachtung der Reihenfolge und ohne Wiederholung. Es gibt also insgesamt Möglichkeiten, wie sich die Besucher auf die Stände verteilen können. Die Möglichkeiten, dass dabei genau zwei Stände nebeneinander frei bleiben lässt sich leicht abzählen, ich fange an damit, dass die ersten beiden von links frei bleiben und verschiebe beide dann immer einen Platz weiter, bis am ende die beiden Stände ganz rechts frei sind. Hierbei komme ich auf 4 Möglichkeiten. Weil das ganze gleichverteilt ist müsste die gesuchte Wahrscheinlichkeit 4/60 bzw. 1/15 sein. Wäre die Aufgabe damit schon gelöst? Und wie kann ich die Anzahl der Möglichkeiten für 2 Plätze nebeneinander berechnen? Hier habe ich sie ja nur abgezählt. |
||||
| 26.08.2016, 20:09 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Aufgabe zur Kombinatorik Die von Dir angegebenen 60 Möglichkeiten insgesamt entsprechen der Anzahl von Anordnungen von 5 Objekten, von denen 3 individuell unterscheidbar sind. Beispiel: ABC00 D. h. die 2 leeren Stände (Nullen) werden nicht unterschieden und permutieren somit nicht. Wenn diese Annahme korrekt ist, fehlt aber im 2. Teil bei Dir gerade die Permutation der 3 Personen, also für jede Position der 2 leeren Stände können sich die Personen in 3! Reihenfolgen anordnen. Oder anders gesagt: Es gibt 3! Möglichkeiten, 3 Personen anzuordnen. Für jede dieser Anordnungen gibt es 4 Möglichkeiten, einen festen Block von 2 Objekten einzufügen. Damit komme ich auf mehr Möglichkeiten und eine höhere Wahrscheinlichkeit. Hat jemand Einwände? |
||||
| 26.08.2016, 20:37 | willyengland | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Klaus hat recht. Wenn b = belegt und _ = frei bedeutet, dann muss man die Wahrscheinlichkeiten für b b b _ _ b b _ _ b b _ _ b b _ _ b b b bestimmen. Ich denke mal, es gibt für jede dieser 4 Anordnungen 6 Möglichkeiten. |
||||
| 26.08.2016, 21:20 | Mimamo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso, okay ... würde heißen, für die Möglichkeit, dass die beiden Stände ganz rechts frei bleiben gibt es mehr als nur eine Möglichkeit. Nämlich dann a b c 0 0 a c b 0 0 b a c 0 0 b c a 0 0 c a b 0 0 c b a 0 0 Wäre die gesuchte Wahrscheinlichkeit dann ? |
||||
| 26.08.2016, 21:27 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So würden Willy und ich das sehen. |
||||
| 26.08.2016, 21:31 | Mimamo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Super, vielen Dank 
|
||||
| Anzeige | ||||
|
|
||||
| 26.08.2016, 21:56 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist natürlich richtig. Interessant, und auch schon ganz anspruchsvoll wäre folgende Zusatzaufgabe: Dieselbe Situation, nur unter Wegfall der Bedingung
und dann ebenfalls wieder die Wahrscheinlichkeit für (mindestens) zwei nebeneinander liegende freie Stände berechnen. 
|
||||
| 29.08.2016, 11:16 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Lösungsvorschlag Zusatzaufgabe: Bedingung ist, dass eine Beachtung der Reihenfolge nur zwischen Personen an verschiedenen Ständen, nicht aber zwischen Personen am selben Stand erfolgt. Wir unterscheiden die 3 Fälle: 1) Alle 3 Personen stehen an unterschiedlichen Ständen wurde bereits geklärt, Anzahl der Möglichkeiten = 60 2) Alle 3 Personen stehen am selben Stand Anzahl der Möglichkeiten = 5 3) An einem Stand stehen 2 Personen, eine Person steht allein Anzahl der Möglichkeiten, 2 Stände auszuwählen, die besetzt sein sollen = = 10 Anzahl der Möglichkeiten, aus 3 Personen eine Zweiergruppe auszuwählen, die an einem Stand steht = Anzahl der Möglichkeiten, aus 3 Personen eine auszuwählen, die alleine steht = = 3 Alle vorigen Möglichkeiten sind miteinander kombinierbar, dazu kommt die Vertauschungsmöglichkeit der Zuordung Einzelperson/Zweiergruppe auf die beiden jeweils ausgewählten besetzten Stände. Zusammen: = 60 Damit gibt es insgesamt 60 + 5 + 60 = 125 Möglichkeiten, die 3 Personen auf 5 Stände zu verteilen. An dieser Stelle bietet sich eine Plausibilitätsprüfung an: Die Wahrscheinlichkeit, dass alle 3 Personen am selben Stand stehen, ist Anzahl der günstigen Möglichkeiten durch Anzahl aller Möglichkeiten = 5/125 = 1/25 Mit herkömmlichem Urnenmodell ergäbe sich zum Vergleich: Wahrscheinlichkeit dass alle 3 Personen an einem bestimmten Stand stehen mal Anzahl der Stände = = 5/125 = 1/25 bisher also kein Widerspruch In wievielen der 125 Möglichkeiten sind nun mindestens 2 Stände nebeneinander unbesetzt: 1) wurde bereits geklärt, Anzahl der Möglichkeiten = 24 2) trifft immer zu, Anzahl der Möglichkeiten = 5 3) Wieder Fallunterscheidung: a) 3 Stände nebeneinander unbesetzt: Anzahl der Möglichkeiten, aus 3 Personen eine Zweiergruppe auszuwählen, die an einem Stand steht = 3 Reihenfolgen der 2 besetzten Stände = 2!, dafür jeweils 3 Möglichkeiten, einen unbesetzten Dreierblock einzufügen, macht 3*2!*3 = 18 Möglichkeiten b) 2 Stände nebeneinander unbesetzt, ein Stand unbesetzt separat: Anzahl der Möglichkeiten, aus 3 Personen eine Zweiergruppe auszuwählen, die an einem Stand steht = 3 Reihenfolgen der 2 besetzten Stände = 2!, dafür jeweils 3 Möglichkeiten, einen unbesetzten Zweierblock einzufügen, dafür wiederum jeweils 2 weitere Möglichkeiten einen unbesetzten Einzelstand einzufügen, macht 3*2!*3*2 = 36 Möglichkeiten. (Als Gegenereignis zu 3) kommt nur abwechselnd unbesetzt/besetzt in Frage mit 3*2! = 6 Möglichkeiten, womit sich in der Summe wieder 60 ergibt) Damit sind in 24 + 5 + 18 + 36 = 83 Fällen mindestens 2 Stände nebeneinander unbesetzt. Die Warscheinlichkeit beträgt folglich 83/125. Bitte um Korrektur. |
||||
| 29.08.2016, 14:18 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ergänzende Bemerkung: Bei 3) gibt es eigentlich nur eine Standzuordnung, wo man NICHT zwei nebeneinander liegende freie Stände hat: Stand 2 und 4 Demzufolge fallen nur 6 von den 60 Möglichkeiten weg, man hat also 54 günstige Varianten. Macht summa summarum über 1),2),3) dann 24+5+54=83 Möglichkeiten.
------------------------------------------------------------------------------ Andere Lösung mit meiner kombinatorischen Lieblingsformel, der Siebformel: Sei ... Stand wird nicht besucht (i=1..5) ... Stände und werden nicht besucht (i=1..4) Gesucht ist . Mit Siebformel bekommt man die Darstellung dieser Wahrscheinlichkeit als Summe/Differenz von Wahrscheinlichkeiten entsprechender Ereignisschnitte der , und diese sind dann wegen wiederum Ereignisschnitte der . Mit ergibt sich konkret . Mit folgt . Naja, sicher nicht einfacher als der obige Zugang.
|
||||
| 29.08.2016, 14:28 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke, dann kann ich sehr zufrieden sein, richtig gerechnet zu haben. Die Bemerkung
habe ich genau gemeint mit "(Als Gegenereignis zu 3) kommt nur abwechselnd unbesetzt/besetzt in Frage mit 3*2! = 6 Möglichkeiten, womit sich in der Summe wieder 60 ergibt)" da ich schon vermutet hatte, dass der Hinweis fallen könnte. |
||||
| 29.08.2016, 14:35 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Immerhin illustriert das Beispiel sehr deutlich, wie eine kleine Änderung der Rahmenparameter die Problemlösung gleich deutlich komplizierter gemacht hat: Nichts mehr mit einfacher Anwendung einer Standard-Anzahlformel - eine Aufteilung des Problems in mehr oder weniger Teilfälle ist unvermeidlich geworden.
|
||||
|
|
